Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
числа г}, ej стремятся к
нулю *.
Уравнения возмущенных движений
4. Решение вопроса об устойчивости зависит от исследования
дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют разности = Qs - Fs-
Уравнения эти условимся называть уравнениями возмущенного движения, а их
очевидное решение Xj = 0, . . ., х" = = 0 - невозмущенным движением.
Если вопрос об устойчивости изучается по отношению к независимым
переменным механической системы, то дифференциальные уравнения
возмущенного движения дают закон изменения отклонений. или вариаций, этих
переменных.
Представим для примера некоторую голономную механическую систему,
находящуюся под действием сил, допускающих силовую функцию. Пусть qu . .
., - ее координаты, ри . . ., -
импульсы, а Н (t, qlt . . ., gfc, ри . . ., рн) - функция Гамильтона.
Уравнения движения можно взять в известной канонической форме:
dJ^_dH_ dPj дН
dt dpS dt dq ¦ '
Предположим, что мы намерены изучить по отношению к переменным q}, pj
устойчивость движения, отвечающего некоторому частному решению
канонических уравнений
4} = 4} №. Pj = Pi №•
Значения координат q} и импульсов pj для возмущенного движения пусть
будут
4j = Я) № + lj, Pj = Р] (t) + ц},
гДе Iji *\i суть отклонения, или вариации, соответственно q}, pj.
Обозначая для простоты функции qs (<), р} (t) через qs, р} и замечая, что
возмущенное движение представляет одно из движений нашей системы при тех
же силах, имеем следующие уравнения:
d(4jJr lj) _ дН (t, qt + Pi -f r]f) dt dp. '
d(P] + 4}) _ _ dH (*. g, + Pj + чг) ¦
dt dqj '
где для сокращения положено
11 № 9t + h, Pi + *li) =
- H (t, qx + li, • • 9ic + It, Pi + . . ., p^ +
ar|jc).
12
ГЛ. Г ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Разлагая правые части этих уравнений в ряды Тейлора по малым отклонениям
?/, .г|;- и используя уравнения для невозмущенного движения, имеем
где Xj, Yj обозначают члены, зависящие от отклонений ?, ,г| в сте пени
выше первой. Это - уравнения возмущенного движения.
Если в последних уравнениях отбросить члены Х}, Yj, то остающееся при
этом первое приближение носит также название уравнений в вариациях
Пуанкаре.
Когда стоит вопрос об устойчивости отмеченного невозмущенного движения
механической системы по отношению к некоторым функциям Qt, . . ., Qn,
зависящим от t, q, р и голоморфным относительно q, р, то из явного
выражения разностей
Если функции Qs независимы между собою и их число равняется п - 2к, то,
выражая ?г, ,г|г согласно предыдущим соотношениям через xs, можем
дифференциальные уравнения возмущенного движения привести к нормальному
виду
где функции Xs, уничтожающиеся, когда переменные xs суть все нули, будут
голоморфными функциями величин хи . . ., хп с коэффициентами, являющимися
известными функциями времени.
Может случиться, что к нормальному виду возможно привести уравнения
возмущенного движения, если число п исследуемых функций Qs меньше
удвоенного числа степеней свободы механической системы. Мы будем
предполагать число п и функции Q" та-
dt Z^ydPjdq^1 ' dpJdpi ^
следует
где Qs обозначает полную производную по времени от функции Qa, взятую
согласно уравнениям движения:
o' = i?"o. V ( °Qa дН dQs дН
dt ' J~J\ d9j dPj dpj dqjj '
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ
13
ними, чтобы уравнения возмущенного движения приводились к указанному
нормальному виду.
5. [2]. В дальнейшем мы будем заниматься дифференциальными уравнениями
возмущенного движения
= (s== 1, . ..,п), (1)
отвлекаясь от исходных уравнений движения механической системы и от вида
функций Qs, в предположении, что всякой системе вещественных значений
возмущений е;-, ej, численно достаточно малых, будет соответствовать
некоторая система вещественных начальных значений переменных xs0 и, как
бы ни было мало данное положительное число А, эти последние всегда можно
будет сделать удовлетворяющими неравенству
s
подчиняя возмущения е7-, ej условию, чтобы они по абсолютной величине не
превосходили достаточно малых, но отличных от нуля Ej, Ej.
Мы предположим также, что, как бы малы ни были данные положительные числа
Ej, Ej, всегда возможно найти такое положительное А, чтобы величине х|0 +
• • • + х?п, не превышающей .4, отвечали одна или несколько систем
вещественных значений ej, ej, абсолютные величины которых | |, | ej
| были бы соот-
ветственно меньше Е}, Е]. При этом условии начальные значения переменных
xs могут играть такую же роль при решении вопроса об устойчивости, как и
величины е}, ej, если только заданием ха0 переменные xs, удовлетворяющие
уравнениям (1), определяются вполне. Это последнее условие мы будем
предполагать всегда выполненным; поэтому далее вместо величин г}, ej
будем всегда рассматривать xs0, перенося на последние и название
возмущений.
Мы предположим, что правые части дифференциальных уравнений возмущенного
движения (1) для всякого t, превосходящего t0, разлагаются в сходящиеся
степенные ряды по целым степеням переменных х1( . . ., хп, когда
последние удовлетворяют условию
