Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивым состояниям, и что в тех случаях, когда желательно избежать в
действительности какого-либо решения, разумно путем некоторого изменения
в конструкции механической системы делать отвечающее этому решению
состояние движения неустойчивым.
*) Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения,- М.: Гостехиздат,
1950.
ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
а
Постановка вопроса
3 [1] *). Рассмотрим какую-либо голономную механическую систему. Пусть
qlt . . ., qk обозначают ее независимые лагранжевы координаты, a qi, . .
., q'k - обобщенные скорости. В динамической задаче, когда силы
определенным образом заданы, переменные q} удовлетворяют некоторым к
обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка. Частному
решению этих уравнений
4j = fj(t) (/ = 1, •••,*) соответствует некоторое определенное движение
нашей системы. Сравнивая его в известном отношении с другими движениями,
возможными для нее при тех же силах, движение это будем называть
невозмущенным, а все остальные, с которыми оно сравнивается,
возмущенными.
Пусть t0 есть момент времени, условно принимаемый за начальный, a qJO и
q'j0 обозначают начальные значения переменной и ее производной по времени
Пусть для невозмущенного движения
Ч}о = /у 0о)> 4}о ~ 1i Оо)>
а для возмущенного
Яю = h (*о) + еУ> Язо = fi (to) + еу,
где еу, e'j суть некоторые вещественные постоянные, которые условимся
называть возмущениями. Заданием этих постоянных возмущенное движение
полностью определяется, так как действующие на систему силы
предполагаются неизменными.
Говоря о возмущенных движениях, близких к невозмущенно-МУ. будем разуметь
движения, для которых возмущения численно достаточно малы.
При этом для возмущенного движения, близкого к невозмущенному, разность
между значениями координат q} и скоростей q] в этих двух движениях,
будучи малой по определению в начальный момент и по непрерывности для
значений t, мало отличных от i0, может не быть малой для моментов
времени, достаточно удаленных от начального.
Отклонения возмущенных движений от невозмущенного могут быть замечаемы в
действительности через разности в значениях некоторых измеряемых в
наблюдении или опыте величин, зависящих от движений. Имея в виду не
опустить случаи, когда наблюдаются величины, отличные от координат q} и
скоростей q], рассмотрим некоторые данные непрерывные вещественные
функции Qu ¦ • •> Qn величин q}, q'} и времени t.
1) Как уже указывалось в предисловии, цифры в квадратных скобках означают
ссылки на соответствующие параграфы сочинения А. М. Ляпунова.
10
ГЛ. 1. ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Для невозмущенного движения функции Qs после замены Qi = fj (t) и 9i - f
'i (t) обратятся в некоторые известные функции t, которые обозначим
соответственно через Fu . . ., Fn, а для возмущенного движения (сохраним
за ними прежнее обозначение Qs) они будут некоторыми функциями времени t
и возмущений
Когда все возмущения ej, ej равны нулю, разности
&S ~ F s
будут также равны нулю для всякого t. Но если возмущения е;-, ej, не
будучи нулями, предполагаются все произвольно малыми, то возникает
вопрос, можно ли назначать такие произвольно малые постоянные, которых
абсолютные величины разностей xs никогда не превосходили бы.
Мы будем заниматься исключительно теми случаями, когда решение
рассматриваемого вопроса не зависит от выбора момента t0, в который
сообщаются возмущения.
Примем следующее определение Ляпунова.
Пусть Li, . . ., Ln суть произвольно задаваемые положительные числа. Если
при всяких Ls, как бы малы они ни были, могут быть выбираемы
положительные числа Ех, . . ., Ек, Ех, . . ., Ек так, чтобы при всяких
возмущениях е;-, ej, удовлетворяющих условиям
i 8; |< Ej, | ej | < Ej, и при всяком t, превосходящем t0, выполнялись
неравенства
| Qs - Fs | < Ls,
о невозмущенное движение по отношению к величинам Qi, ... Qn устойчиво, в
противном случае - неустойчиво *.
Может случиться, что удовлетворяющих этому определению пределов Е}, Е)
нельзя найти, если рассматривать всякие возмущения, и что такие пределы
возможно найти для возмущений, подчиненных некоторым условиям вида
/ = 0 или / j> 0,
где / есть некоторая функция возмущений е;-, ej, обращающаяся в нуль,
когда все возмущения полагаются равными нулю. В таких случаях будем
говорить, что невозмущенное движение устойчиво для возмущений,
подчиненных таким-то условиям.
В определении устойчивости Ляпунов использовал понятие числа, а не
бесконечно малой величины. Поэтому существо понятия устойчивости по
Ляпунову лежит не столько в характере изменения величин | Qs - Fs \ при
стремлении возмущений ej, ej к нулю, сколько в оценках численных величин
возмущений при заданных численных оценках разностей | Qs - Fs \ для
устойчивого
УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ
по отношению к функциям Qs невозмущенного движения. Следовательно, нельзя
утверждать, что устойчивость в смысле Ляпунова имеет предельный смысл
инфинитезимальной устойчивости при бесконечно малых возмущениях, когда
