Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
2 4,<
S
то из соотношения
t
V-V, = $V' dt, и
где
V0 = V (t0, Ддо, • • ч xn0) Z,
согласно (3) выводим, что переменные xs при своих изменениях в силу
дифференциальных уравнений возмущенного движения будут удовлетворять
условиям
W < V < F0 < Z. а тем самым и условию
S
так как Z есть точная низшая граница функции W на сфере (А). Теорема
доказана.
Функцию V, удовлетворяющую условиям этой теоремы, условимся называть
функцией Ляпунова *).
В доказательстве теоремы, выполненном в духе е-доказа-тельств, следует
отметить предложенный Ляпуновым практически полезный способ нахождения
для заданного положительного числа А. меньшего Н, с помощью функций V и W
положительного числа К, обладающего свойством: если начальные значения
х,0 стеснены неравенством
2 -4 < /ч
s
то во все последующее время значения переменных xs будут удовлетворять
неравенству
2 ?<А.
S
Ч Вопрос о существовании функции Ляпунова для всякого устойчивого
невозмущенного движения разрешил профессор К. П. Персидский (П е р-с и д
с к и й К. П. Об одной теореме Ляпунова // ДАН СССР,- 1937.- Т. 14, № 9,-
С. 541-544).
20
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Ляпунов использует лишь нужное ему обстоятельство, что для
произвольного положительного А, сколь бы мало оно ни было,
соответствующее X существует, и не останавливается на во-
просе о наибольшем значении X для заданного А*.
Пример. Рассмотрим уравнения возмущенного движения в виде
% = -(х - $у)(1 - ах2 - by2),
~jt = - (У + <*х) (1 - ах2 - by2)
с положительными постоянными а, р, а, b; пусть для определенности а Ь, а
р.
Определенно-положительная функция
V = ах2 + р у2
удовлетворяет условиям теоремы; ее полная производная по времени,
согласно заданным уравнениям, является отрицательной в области достаточно
малых значений х, у:
V' = -2(ах2 + р*/2) (1 - ах2 - by2).
Значит, невозмущенное движение х = 0, у = 0 устойчиво. Иллюстрируем
доказательство. Область х2 + у2 Н, где функция V определенно-
положительна, а производная V' имеет отрицательные и нулевые значения,
определяется соотношением
Рассмотрим некоторую окружность х2 -f- у2 = А; ее касается изнутри эллипс
ах2 + ру2 - А а.
Квадрат радиуса наибольшей окружности, вписанной в этот эллипс, есть X =
А а/р. Если А ¦< Я, то движение, начавшееся из произвольной точки х0, у0,
лежащей внутри последней окружности
•Го + Уо <С
не выведет движущуюся точку х, у за окружность х2 + у2 = А, так как в
рассматриваемой области значения производной V' отрицательны и,
следовательно, при движении согласно заданным уравнениям точка Р (х, у) в
поле подобных и подобно расположенных эллипсов V - const должна
переходить на Внутренние эллипсы. А это и доказывает, что, исходя из
указанного начального положения (х0, у0), движущаяся точка никогда не
попадет на эллипс осх2 + ру2 - Аа, лежащий внутри круга х2 -f- у2 ^ А.
Так как приведенное опреДеление возможно лля всякого А,
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
21
сколь бы мало последнее ни было, заключаем об устойчивости невозмущенного
движения.
9 [161. Следствие. Если для дифференциальных уравнений возмущенного
движения существуют интегралы Ui, . . ., Um, уничтожающиеся, когда все
переменные х8 суть одновременно нули, и если найдена функция V,
удовлетворяющая условиям (3) при прежнем значении W только для
переменных, для которых и, - 0, . . ., Um = 0, то мы заключили бы, что
невозмущенное движение устойчиво при возмущениях, стесненных уравнениями
Частным случаем этого следствия является одна теорема Рауса х). В самом
деле, пусть qu . . ., qk - независимые лагранже-вы координаты некоторой
голономной механической системы, для которой Т - живая сила, a U -
силовая функция. Предположим, что переменные qs+l, . . ., qk (s к)
являются циклическими в том смысле, что для них
где /, = Т -)- U обозначает так называемую функцию Лагранжа. Уравнения
движения такой системы
и в ней заменить q'a через их выражения, полученные из выписанных первых
интегралов, то для R получим выражение в виде функции от t, qt, . . .,
qs, q{, . , ., ql, ($s+1, . . ., ps. Вариация последней есть, если / =
1,..., s; а = s + 1,..., k,
вариация той же функции R согласно формуле, ее определяющей,
есть
') Й о u t h Е. P. The advanced part о! a treatise on the dynamics of a
system of rigid bodies; 4th ed.- 1884.
[/, - 0, . . ., Um = 0.
_= 0 (a = s + 1, .. ., k),
имеют k - s первых интегралов
где pa суть постоянные.
Если ввести функцию R, определенную равенством
R - L - 2j 9aPa
a
i i 3 а
22
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Сравнение коэффициентов при одинаковых вариациях в этих двух выражениях
приводит к соотношениям
согласно которым уравнения Лагранжа для нециклических координат принимают
вид
Функция R не зависит от циклических координат qa и их скоростей q'a.
Последние уравнения как бы игнорируют циклические координаты и сводят
динамическую задачу к задаче о движении механической системы с новой
функцией Лагранжа Лис меньшим числом степеней свободы. Значения
