Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
устойчивость невозмущенного движения следует
из того, что определенно-положительная функция V - xf
имеет, согласно заданным уравнениям, отрицательную или
*) Можно отметить еще одну теорему о неустойчивости, где вводятся две
функции (Ч е т а е в Н. Г. О неустойчивости равновесия, когда силовая
функция не есть максимум // Учен. зап. Казан, ун-та.- 1938.- Т. 98, №
9)*.
ТЕОРЕМА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ 3 ]
гоЖДественно равную нулю полную производную по t V = S PrtVt = S
S, К' 8
Если для любого t > t0 имеют место неравенства pss<i - &< О, где h -
положительная постоянная, то производная V' будет при этом определенно-
отрицательной; в этом случае невоз-мущенное движение устойчиво, а близкое
возмущенное движение будет стремиться к нему асимптотичёски.
Если pss удовлетворяют условиям pss к 0, где к - некоторое положительное
число, то в этом случае невозмущенное движение неустойчиво.
При мер. Устойчивость постоянных вращений. Случай Эйлера в движении
твердого тела с одной неподвижней точкой представится, когда центр
тяжести тела совпадает с закрепленной точной. Изучим устойчивость
частного решения
Ро = 0, q0 = 0, г = г" > 0.
Бариации переменных обозначим для возмущенного движения:
Р = I, q = Ц, г = г0 + ?.
Уравнения возмущенных движений будут
= - Оч(г" + ?)>
В§ = (С-Л)(га-К)1.
с%={А-В)1я
Вопрос об устойчивости постоянного вращения вокруг наибольшей (А ^ В С) и
наименьшей (А ^ В < С) полуосей эллипсоида инерции разрешается из
существования знакоопределенного интеграла уравнений возмущенного
движения
^ S2 + ^ ± № + + 2Сг°$ + с^г-
Неустойчивость вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции {А <; С <
В) доказывается рассмотрением функции
У = ?т].
Ее производная
г = (Гв + 0[?^?п. + ?-"Р].
Если ? + г0 уничтожается, то неустойчивость очевидна. Если
32
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
^ Го 0, то V' будет определенно-положительной в области
у о. V, как не зависящая явно от t, допускает бесконечно
малый высший предел; на основании теоремы о неустойчивости (п. 13)
выводим, что вращение вокруг средней полуоси неустойчиво.
Пример. Область V 0 может распадаться на отдельные полости. Для
применения теоремы п. 13 нас может интересовать всего какая-либо одна
связная полость С области V > 0. Для определения С одним неравенством W 0
достаточно рассмотреть непрерывную функцию W, равную V в полости С и
равную -! V \ вне С.
ГЛАВА 3
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЙ
ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
Теорема Лагранжа
Торричелли в формулировках своей эпохи установил теорему об устойчивости
положений равновесии тяжелых тел, которую Лагранж обобщил для
произвольных потенциальных сил. Для наиболее элементарных случаев Ляпунов
дал обращение теоремы Лагранжа. Рассматривая случай, когда потенциальная
функция зависит от некоторого параметра, Пуанкаре положил начало теории
разретвлёния равновесий.
16. Вообразим механическую систему, стесненную некоторыми голокомными и
не зависящими от времени связями и находящуюся в положении равновесия под
действием потенциальных сил.
Обозначим через д1, . . ., q% ее независимые лаг.ранжевы. координаты. Не
уменьшая общности, всегда можно предположить, что для рассматриваемого
положения равновесия материальной системы значения всех переменных qs
равны нулю. Пусть Т обозначает живую силу, a U - силовую функцию
действующих на систему сил. При не зависящих от времени связях живая сила
Т представляет определенно-положительную квадратичную форму от скоростей
q[, . . ., д^. Силовая функция U предполагается зависящей только от
координат qx, . . ., qk, причем ее мы условимся считать равной нулю для
положения равновесия.
При этих предположениях дифференциальными уравнениями возмущенного
движенйя будут уравнения движения рассматриваемой механической системы,
если вопросы об устойчивости исследуются по .отношению к координатам qx,
. . q^ и к скоростям <?ь ¦ • • " <7к-
Теорема Лагранжа. Если в положении равновесия силовая функция U имеет,
изолированный максимам, то такое положение равновесия устойчиво.
Доказательство. Если силовая функция U имеет в положении равновесия
изолированный максимум и равняется нулю, то по крайней мере в достаточно
малой области для малых по абсолютной величине значений переменных qs
значения функ-
2 Н. Г. Четаев
гл з УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
т^яи ц будут отрицательны. Это значит, что в области малых значений
переменных qs функция U представляет определенно-отрицательную функцию
лагранжевых координат q15 . . ., Поэтому полная энергия механической
системы Н = Т - U будет представлять определенно-положительную функцию по
отношению к координатам ft,..., ?fc и скоростям -ql, . . q*. Ее полная
производная по времени равна нулю, Н' == 0, так как для уравнений
движения при не зависящих от времени связях существует интеграл живых
сил. Следовательно, Н удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об
устойчивости, что и доказывает теорему.
17. Рассмотрим теперь случай, когда в области малых по абсолютной
