Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
представляет при этом некоторую замкнутую поверхность, которую условимся
называть (п - \)-мерным циклом V = с. При непрерывном изменении с к нулю
циклы V = с представят замкнутые поверхности, вложенные друг в друга и
стягивающиеся к началу в области численно достаточно малых значений
переменных xs.
• Если функция V определенно-положительна и зависит явно от f, то по
определению существует не зависящая от t определенно-положительная
функция W такая, что V - W представляет положительную функцию. Если с не
превосходит при этом наименьшего значения функции W на сфере (Л), то
любой непрерывный путь, проведенный из начала до произволi ной точки
цикла W = с, обязательно либо по меньшей мере один раз пересечет
поверхность V = с, либо он на ней окончится. Называя циклом
V = с геометрическое место первых точек поверхности V = с для некоторого
t ]> t0 на непрерывных путях из начала до точек цикла W - с, замечаем,
что при этом цикл V - с содержится внутри или охватывается циклом W = с.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
17
Если при условиях (2) значения | V | не превосходят некоторого конечного
числа, то функцию V будем называть ограниченной. При достаточно малом
значении А такой будет в силу непрерывности всякая не зависящая от t
функция V.
Если ограниченная функция V такова, что для всякого положительного I, как
бы мало оно ни было выбрано, найдется такое отличное от нуля число X, что
, при
t > *0 И 2 Х\ < ^
8
будет выполняться неравенство
I V | < I,
то будем говорить, что V допускает бесконечно малый высший предел. Этому
требованию удовлетворяет в силу непрерывности всякая не зависящая от t
функция V. Но функции, зависящие от t, хотя бы и ограниченные, могут ему
не удовлетворять. Например, из функций
sin2 \(х\ + h %п) *],. (*?+...+ хгп) sin21
лишь вторая допускает бесконечно малый высший предел; кстати, ни одна из
этих положительных функций не является знакоопределенной.
Если функция V допускает бесконечно малый высший предел, то в
пространстве переменных х ни одна точка поверхности | V | = I, сколь бы
мало I ни было, никогда для г > <" не войдет в область
2*г<х,
8
где X есть некоторая зависящая от I положительная постоянная.
Условие знакоопределенности функции V содержит известное ограничение для
изменения с течением времени цикла V = с наружу в том смысле, что цикл W
- с представляет наружную границу области W <; с пространства (х4, . . .,
хп), внутри которой лежит цикл V = с в любой момент времени t
Условие существования бесконечно малого высшего предела у функции V
содержит ограничение для изменений поверхности | V | = I вовнутрь в том
смысле, что для всякого положительного I, сколь бы мало оно ни было,
существует отличное от нуля положительное число X, определяющее область
2 х\ < X,
8
внутри которой ни для какого t > f0 нет точек, принадлежащих поверхности
| V | = I.
18
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Одновременно с функцией V будем рассматривать ее полную производную по t,
взятую в предположении, что переменные х" удовлетворяют дифференциальным
уравнениям возмущенного движения
v W ¦ dV у | , dV Y
' W ~ ~дх. 1 ~ ' - дГЛп-
1 n
Теорема Ляпунова об устойчивости
8 [16]. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения
таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная
которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией
противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то невозмущенное
движение устойчиво.
Доказательство. Пусть V - определенно-положительная функция, a F -
отрицательная или нуль. По определению знакоопределенной функции,
найдется не зависящая от I определенно-положительная функция W такая, что
при достаточно большом t0 и достаточно малом Н в области, определенной
условиями (2), будут иметь место неравенства
V' <0, V > W. (3)
Надо показать, что для произвольного положительного числа А найдется
такое положительное число X, что при начальных возмущениях .г80,
удовлетворяющих неравенству ^х%^Х, значе-
ния переменных xs. начавшие свое изменение согласно уравнениям
возмущенного движения в момент t = t0 с начальных значений ,rs0, для
любого момента t ^ t" будут удовлетворять неравенству
Ъ4<А.
-S
Пусть А есть некоторое отличное от нуля, произвольно малое положительное
число (которое во всяком случае будем предполагать меньшим Н); пусть I
есть точная низшая граница функции W на сфере (Л):
= А.
S
Число I необходимо отлично от нуля и положительно, так как W представляет
определенно-положительную функцию. Рассмотрим функцию V (t0, х{, . . .,
хп); она, как не зависящая явно от f, допускает бесконечно малый высший
предел; и следовательно, для / найдется такое X, что для значений
переменных xs,
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
19
удовлетворяющих условию 2 X, значения функции
S
V (/"¦ хи. . ., х,,) будут удовлетворять неравенству V (Z0, Х\, . . .,
хп) I.
Если начальные значения ;rs0 переменных xs выбрать согласно неравенству
