Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 9

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 63 >> Следующая

циклических координат qa после того, как проинтегрированы последние
уравнения, определяются квадратурами
Представим себе, что при некоторых значениях ра уравнения движения
допускают частное решение q} - 0 (;' = 1, . . ., s). Этому решению
отвечает стационарное движение, в котором будут изменяться одни
циклические координаты qa. Уравнениями возмущенного движения (при
фиксированных значениях постоянных ра) будут уравнения для нециклических
координат q} с функцией Лагранжа R.
Если R не зависит явно от t, то эти уравнения имеют первый интеграл,
соответствующий интегралу живых сил:
Теорема Рауса состоит в том, что если функция V = Н - Н0 будет
знакоопределенной от переменных q}, q\, то (согласно теореме Ляпунова,
так как V' = 0) стационарное движение будет устойчивым при условии, если
значения постоянных не возмущаются; Н0 обозначает функцию Я, когда в
последней все нециклические координаты q} и их скорости q] положены
равными нулю. Интересно заметить, что стационарное движение может быть
устойчивым, когда функция Н - Н0 не является знакоопределенной.
10. Пример. Рассмотрим тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой О.
Пусть подвижные оси координат Oxyz совпадают с главными осями эллипсоида
инерции тела, построенного для неподвижной точки. Моменты инерции тела
относительно осей X, у, z обозначим соответственно через А, В, С.
dL__d_R_ dL dR dqi dgj '
dR
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 23
Случай Лагранжа представится, когда А - В, а координаты центра тяжести
тела суть х = 0, у - 0, z > 0.
Пусть р, q, г - проекции мгновенной угловой скорости на главные оси х, у,
z эллипсоида инерции; у, у', у" - направляющие косинусы вертикали гг с
подвижными осями х, у, ъ.
Практический интерес имеет задача об устойчивости вертикального вращения:
р = 0, q = 0, г = г0, у = 0, у' = 0, у" = 1.
Нтой задаче посвящено много исследований. Мы изучим вопрос об
устойчивости по отношению к переменным р, д, г, у, у', у". Обозначим
вариации переменных для возмущенного движения
так:
Р = Е, Ч = п, г = г" + ?, у = a, v' = P. V" = 1 + б-
Чтобы решить поставленный вопрос об устойчивости, будем искать функцию
Ляпунова среди интегралов уравнений возмущенных движений.
В случае Лагранжа известны следующие интегралы:
А (р2 ~г д2) + С г2 + 2 mgzy" - h,
А (ру + ЧУ') + СгУ" = *1
У2 + V'2 + Y"2 = 1, г = г0.
Отсюда уравнения возмущенных движений имеют такие интегралы: Уг ¦-= Л
(|2 + ц2) + С а2 + 2г0 ?) + 2mgZ6,
V2 - А (|а + чР) + С (6? + г0б -j- ?),
У3 = а2 + р2 + 62 + 26,
V4 - Е-
Функцию Ляпунова будем искать в квадратичной связке интегралов
V У, +• 2kV2 - (mgz + Сг0к) У3 + рУ2 - 2 (О0 + Ск) V4 =
= Al2 + 2кА\а - (mgz -Ь Сг0к) а2 +
- Arf f 2Ыцр - (mgz + Cr0k) р2 + (С + р) ?2 -|-
-Ь 2kCZ, - {mgz + Cr0k) 62.
Чтобы первые две однотипные формы были положительными, к необходимо и
достаточно выбрать так, чтобы их дискриминант был положительным:
24
ГЛ. 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
ИЛИ
А№ + Cr0K + mgz < 0.
Последнее неравенство возможно, если полином имеет два различных
вещественных корня
Сг0
А 2
Cr q
2 mgz
или
C2rl - A A mgz > 0.
Последняя форма будет положительной, если положителен ее дискриминант
I С -|- [1 СХ I
I СХ - (mgz -f- Cr0X) I ^ '
или
(сТ]г)12 + Сг°^ + mgz < °'
Чтобы этот вопрос свести к уже рассмотренному, выберем р так, чтобы
С2 _л
С + р А'
или
С(С -А)
При этом
С + Р = -?> о.
Итак, если
Сгг\ - AAmgz > 0,
то А, можно выбрать так, чтобы квадратичный интеграл V был определенно-
положительным относительно всех переменных р, q, г, а, р, 6. А это
согласно теореме Ляпунова об устойчивости заставляет заключить об
устойчивости вертикального вращения волчка Лагранжа *.
11 [16]. Дополнение об асимптотической устойчивости. Если
знакоопределенная функция V допускает бесконечно малый высший предел, а
ее производная V' представляет знакоопределенную функцию противоположного
знака, то всякое возмущенное движение, достаточно близкое к
невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически.
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
25
Доказательство. Если функции У и У' суть знакоопределенные, то по
определению существует такое t0 и такое положительное число Я, что для f
> f0 и для значений переменных х,, удовлетворяющих условию
8
существуют не зависящие от времени определенно-положительные функции W,
W' такие, что, если У положительна,
У - W > 0 и -V' - W' > 0. (4)
Определим область начальных возмущений 2 хш^ к, для которых значения
переменных xs не покидают области 21 х\ <С как указано в доказательстве
основной теоремы Ляпунова об устойчивости (п. 8). Пусть I есть точная
низшая граница функции W на сфере (Л). Тогда за к мы выбираем число,
определяющее область 2*5 к, в которую не проникает пи одна точка
поверхности
^ (^о> xli • • •> ^п) ~
Легко убедиться, что для любых возмущений xs0, лежащих в области (А,),
>i к,
8
при указанных свойствах функций У и У' нельзя найти такого положительного
числа е, которое было бы меньше всех значений, получаемых функцией У в
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed