Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
оси qv . . ., qk и рассмотрим уравнение квадрики
2/ = S aijq^j = 1.
Его левая часть будет в виде суммы квадратов, если оси координат будут
совпадать с собственными осями квадрики. Осью квадрики, по определению,
является прямая, проходящая через центр и вершину, или иначе через ту
точку квадрики, где радиус-вектор совпадает с нормалью.
Условие коллинеарности нормали к квадрике и радиуса-вектора имеет вид
(i = 1,. . ., к),
где х - некоторый пока неопределенный множитель: или в явном виде:
S at,qj = *qt (i = 1, • • к). (6)
j
Эта система будет иметь отличное от нулевого решение, если определитель,
составленный из коэффициентов, равен нулю:
аи - х .
"щ • °u--x
Уравнение это носит название векового; оно определяет к вещественных
корней xlt . . ., хк, теснейшим образом связанных с величинами полуосей
рассматриваемой квадрики.
Теорема Сильвестра. Корни векового уравнения все вещественны.
Доказательство. Если х является корнем векового уравнения, то система (6)
имеет для qs решение, отличное от нулевого. Если этот корень х
комплексный, то комплексными будут и q3. Пусть qs обозначает величину,
сопряженную с qs.
Умножим уравнения системы (6) соответственно на qt и сложим:
<
сопряженное выражение будет иметь вид
S"IjMi = X 2j9"9"-
V %
38
ГЛ. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛАХ
Отсюда, если учесть симметричность коэффициентов al} = a}i
рассматриваемой квадратичной формы /, непосредственно получается
соотношение
.. Swj SWj гг
2*а 2f а
которое доказывает вещественность корня х, ибо только вещественные
количества равняются своим сопряженным.
Чтобы определить геометрический смысл корня векового уравнения х, умножим
уравнения (6) соответственно на qt и сложим
2/ = х 2j Qi-
г
Если корень х положителен, то (из-за того, что решения qs системы (6),
удовлетворяющие уравнению квадрики 2/ = 1, представляют координаты
вершины) выражение 2j Qi представляет квадрат соответствующей полуоси
квадрики. Если корень х отрицателен, координаты вершины, отвечающей
полуоси, в силу последнего соотношения, будут чисто мнимыми, а 2 Qi будет
представлять собой квадрат мнимой полоуси квадрики 2/ = 1.
В обоих случаях согласно последнему соотношению числовое значение х
равняется обратной величине квадрата соответствующей полуоси квадрики.
Пусть х1( . . ., хк - корни векового уравнения, а аг, . . . ..., ак -
отвечающие им полуоси квадрики, вещественные для положительных корней и
мнимые для отрицательных. Из известного канонического вида уравнения
квадрики в ее осях
вытекает, что заданную форму / путем линейного преобразования к новым
переменным xt возможно привести к виду
2/ = 2 Ki#i-
i
Корни векового уравнения х1? . . ., xfc определяют характер формы /. Если
они все положительны, то форма /, а вместе с ней и потенциальная энергия
V - f -V • • • будут определенно-положительными и будут иметь минимум в
положении равновесия. Если среди корней х найдется хотя бы один
отрицательный, то потенциальная энергия V - f + . . . при соответствующем
выборе численно сколь угодно малых значений переменных qs может быть
сделана отрицательной. Пуанкаре предложил называть корни х коэффициентами
устойчивости, а число отрицательных xs - степенью неустойчивости.
КОЭФФИЦИЕНТЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПУАНКАРЕ
39
В этих терминах теоремы Лагранжа и Ляпунова можно высказать словами: если
в положении равновесия все коэффициенты устойчивости положительны, то
равновесие устойчиво; если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент
устойчивости, то равновесие неустойчиво.
19. Пример. Однородный тяжелый трехосный эллипсоид лежит на
горизонтальной плоскости. Определить коэффициенты устойчивости Пуанкаре
для его положений равновесия.
Пусть уравнение эллипсоида относительно его осей будет следующее:
Ах2 + By2 + Cz2 - 1=0.
Положениями равновесия трехосного эллипсоида будут те положения, в
которых нормаль к эллипсоиду в точке касания будет коллинеарна с радиусом
из центра в точку касания; другими словами, положениями равновесия будут
положения, в которых точка касания с неподвижной плоскостью совпадает с
вершиной какой-либо из полуосей.
Касательная плоскость
АхХ + ByY + CzZ - 1 = 0
в точке касания (х, у, z) отстоит от центра (тяжести) на расстоянии
6= - 1 .
У + В*у* + СгА
Отсюда, если эта касательная плоскость есть та горизонтальная плоскость,
на которой лежит эллипсоид, то потенциальная функция в области положения
равновесия (а: = 0, у = 0) имеет вид
V - - U = mgb = - - mg =
\f А{А - С)х* + В(В - С)у2+С
__ mg Г. 1 (А(А-С) " В{В-С) \ , 1
"ТТГ гЧ-~х с У jт• • • J i
и следовательно, коэффициенты устойчивости положения равновесия х = 0, у
= 0 суть
" mg А (А - С) mg В (В -С)
1 2tfC С ' ч\ГС С
Отсюда, если эллипсоид лежит на вершине малой полуоси (А <
< В < С), то это положение равновесия устойчиво (Xj > 0, х2 >
0); если эллипсоид лежит на вершине средней полуоси {А
< С < В), то такое равновесие неустойчиво с одной степенью
неустойчивости; если эллипсоид лежит на вершине большой полуоси (Л > В
