Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 20

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 63 >> Следующая

Итак, для рассматриваемого характеристического корня Я = Я0 кратности р
найдено к групп решений (г - 1, . . ., к), каждая из которых состоит из
рг_, - рг решений. Общее число найденных решений равно, очевидно,
кратности корня
к
S Ovi - Иг) = и-
Г=1
Полученные решения линейно независимы между собой. В самом деле, мы
видели, что решения какой-либо отдельной группы между собою линейно
независимы, так как имеют различные наивысшие степени t в своих вековых
членах. Пусть цепочка исходных миноров
Ait ¦ ¦ ¦ ir, у • ¦ • у
определяется какими-либо одинаковыми индексами при г = 1, . . .
к. Переменное xit, входя во все решения группы, отвечающей минору г = 1,
будет нулем по определению для всех других групп частных решений. Поэтому
если существует какая-либо линейная зависимость между найденными
решениями, то среди последних не может находиться по крайней мере ни
одного решения из группы г = 1, так как без этого условия не будет
существовать линейной зависимости частных решений для переменной хи.
Подобными соображениями можно показать, что в линейную зависимость
частных решений не может входить также ни одного решения группы г - 2,
так как xit, входя в эту группу решений, не входит по определению ни в
одну из групп г 2. Продолжая это рассмотрение дальше и исключая шаг за
шагом из предположенной линейной зависимости группы решений г = 1, 2, . .
., к, тем самым доказываем линейную независимость между собою всей
системы из р найденных для корня Я - Я0 частных решений.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
55
Рассматривая теперь все различные и неодинаковые корни
характеристического уравнения, мы получим указанным приемом систему из п
частных решений, линейная независимость которых очевидна, если после
доказанного обратить внимание на различие множителей еи в решениях,
соответствующих неодинаковым корням Я.
Замечание. Можно привести много других способов определения частных
решений. Не нарушая приведенных рассуждений, мы можем определить полиномы
A lJs вместо (10) следующими формулами:
где Dn-r есть общий наибольший делитель миноров г-го порядка.
Элементарные делители
27х). Для определения общих наибольших делителей миноров
характеристического определителя А (А,) выработаны элементарные приемы,
на одном из которых мы остановимся.
Элементарными преобразованиями Я-матрицы 2) называются следующие
операции:
1°. Перестановка двух строчек или двух колонок.
2°. Умножение всех элементов какой-либо строчки (колонки) на один и тот
же отличный от нуля постоянный множитель.
3°. Сложение элементов некоторой строчки (колонки), умноженных на один и
тот же полином от А,, с соответствующими элементами другой строчки
(колонки).
Эти элементарные преобразования обладают следующим, важным для нашей
задачи свойством: если все определители г-го порядка Я-матрицы, в
частности миноры определителя А (Я), имеют множителем полином ср (Я), то
этим множителем будут обладать все определители г-го порядка каждой из Я-
матриц, получаемой из начальной путем элементарных преобразований.
Действительно, для преобразований 1° и 2° это обстоятельство очевидно.
Чтобы показать, что оно справедливо и для преобразований 3°, присоединим
к элементам р-й колонки Я-матрицы соответствующие элементы q-й колонки,
умноженные на полином ф (Я). Всякий определитель г-го порядка Я-матрицы,
в который не входит р-я колонка, равно как и всякий определитель г'-го
порядка, заключающий кроме р-й колонки также и q-ю колонку, остается без
изменения. Определитель г-го порядка, заключаю-
х) Б о х е р М. Введение в высшую алгебру.- М.: ГТТИ, 1934.- (См. гл.
12).
а) То есть матрицы, элементами которой являются полиномы от Я.
56
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
щий р-ю колонку, но в который не входит q-я колонка, после преобразований
принимает вид
А ± фЯ,
где А и В являются' определителями г-го порядка начальной A-матрицы.
Отсюда непосредственно следует справедливость высказанного предложения.
Элементарные преобразования не могут изменить общего наибольшего делителя
определителей г-го порядка начальной A-матрицы. Согласно предыдущему, они
могли бы лишь увеличить на некоторый множитель общий наибольший делитель
определителей i-ro порядка в преобразованной A-матрице; но увеличить этот
общий делитель они не могут, так как элементарные операции обратимы, а
обратное преобразование преобразованной А.-матрицы к начальной тогда дало
бы иное выражение для Dt.
Элементарные преобразования ценны тем, что, сохраняя общие наибольшие
делители определителей г-го порядка А-матрицы, они могут привести
последнюю к так называемому каноническому виду, для которого не
представляет никаких затруднений определить общие наибольшие делители
определителей любого порядка.
Если первый элемент А.-матрицы / (А) не обращается тождественно в нуль и
не является множителем всех остальных элементов, то можно получить
элементарными преобразованиями такую матрицу, первый элемент которой не
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed