Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Четаев Н.Г. -> "Устойчивость движения " -> 16

Устойчивость движения - Четаев Н.Г.

Четаев Н.Г. Устойчивость движения — М.: Наука, 1965. — 176 c.
Скачать (прямая ссылка): ustoychivostdvijeniya1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 63 >> Следующая

где фг, фгг - значения частных производных от ф по указанным переменным
для рассматриваемого стационарного движения. Поэтому в случае его
устойчивости все главные диагональные миноры дискриминанта
Фгг Н Т- Фг Фгг Го
Фгг Фгг
должны быть положительными. Это дает два неравенства
3 / 3 \
Фгг-f 7^Фг>0' (фгг + -Фг)фгг~ф?г> 0.
Пример. Пусть потенциальная функция V некоторой материальной системы
зависит от координат х, у, определяющих положение системы, и имеет
минимум в положении равновесия x0i Уо-
Введем обозначения X = , У = , где индексами
обозначены величины, при постоянстве которых берутся частные производные.
Из условия устойчивости рассматриваемого положения равновесия в силу
критерия Сильвестра имеем в этом положении:
Вообразим, что условие равновесия X = 0 нарушается за счет некоторого
изменения величины х; если при этом величина у остается постоянной, то
изменение X определяется производной
{дх)у' ^сли же величина у изменяется, восстанавливая другое
уравнение равновесия У = 0, то изменение X при этом определи-
(дХ\
дх)у~о'
а (X, Y) (дХ \2
(9Х_\ _ a(X,Y) д (х, у) (дХ\ \9у)х
\дх)у=о д(х,У) - д(Х,Y) ~~\дх)у /дУЛ '
9 (*, У) \ ду )х
не равна нулю, то
°<(?Ц<Ш,-
Неравенства эти выражают некоторый частный случай принципа Ле-Шателье -
Брауна.
44
ГЛ. 3. устойчивость при потенциальных силах
Бифуркация равновесий
22. Во многих задачах механики потенциальная энергия мате-циальной
системы зависит не только от переменных, определяющих положение системы,
но еще и от некоторых параметров. Например, в задаче о сжатом стержне
потенциальная функция V зависит не только от переменных, определяющих
форму стержня в возмущенном состоянии, но и от продольной нагрузки Р.
Общую теорию положений равновесия таких материальных систем при различных
значениях параметров предложил Пуанкаре.
Пусть потенциальная энергия V некоторой материальной системы зависит от
координат хг, . . ., хп, определяющих положение системы, и от одного
переменного параметра а.
Для фиксированного значения параметра а положения равновесия определяются
уравнениями
представляют линейные последовательности вещественных корней уравнений
равновесия; мы предполагаем, что функции <pil) (а) являются непрерывными
функциями параметра а.
В (п -г 1)-мерном пространстве переменных (а, х1У . . ., хп) последние
уравнения определяют линии С;, составляющие в совокупности некоторую
вещественную кривую В, различные точки которой отвечают возможным
различным состояниям равновесия.
Отдельные ветви Ct пересекаются между собой в точках, где имеется
совпадение по меньшей мере двух вещественных корней уравнений равновесия.
В окрестности такой точки уравнения
не имеют однозначного решения; в таких точках должен уничтожаться
функциональный определитель *)
Другими словами, если в некоторой точке М кривой В гессиан потенциальной
энергии Д обращается в нуль, то такая точка может
Пусть
Д =
д (хъ . . ., хп) ' ' dx^Xj
*) Г у р с а Э. Курс математического анализа. Т. 1. ч. 1: Пер. с фр.-¦
М.: ГТТИ, 1933,- (См. § 38).
БИФУРКАЦИЯ РАВНОВЕСИЙ
45
быть точкой пересечения ветвей Ct; точки М называются критическими, или
точками бифуркации (ветвления).
Некоторые точки кривой В отвечают устойчивым состояниям равновесия, а
некоторые - неустойчивым. Смена устойчивости на ветвях С, может
происходить лишь в точках бифуркации. В самом деле, для определенной
ветви координаты xs являются некоторыми функциями параметра а, х, = ф(81)
(а) и, следовательно, для ветви Ct определитель также является функцией
а, если в Л заменить xs = ф8г) (а). При переходе по ветви Ct от точки к
точке будут изменяться значения А.
Для определенного состояния равновесия, отвечающего некоторой точке ветви
С,-, устойчивость определяется коэффициентами Пуанкаре, или, иначе,
корнями отвечающего векового уравнения
б цХ
Д(х)
дх/)х ^
0.
Здесь и во всем дальнейшем Ьц есть символ Кронекера; Ь1} равняется нулю,
если i и / различны, и равняется 1, если i и / равны. Разложение полинома
А (х) на линейные множители: А (х) --
- (хх - х) . . . (х" - х) непосредственно дает
А - А (0) = Xj . . . х".
Так как в точке бифуркации А - 0, то в ней по крайней мере один из
коэффициентов устойчивости Пуанкаре х,- обращается в нуль и наоборот. Но
корни векового уравнения А (х) = 0 всегда вещественны. Поэтому на ветви
С{ устойчивость линейной последовательности равновесий может пропадать
(или появляться) лишь в точках бифуркации, так как при потере (или
приобретении) устойчивости по меньшей мере один из коэффициентов
устойчивости, меняя свой знак, будет проходить через нуль.
Пусть М есть некоторая точка бифуркации; отвечающее ей значение параметра
а примем равным нулю.
В различных задачах механики интересуются преимущественно реальными
ветвями кривой равновесия. Отметим без доказательства два предложения,
относящиеся сюда 1).
Представим себе, что как-либо выяснены реальные ветви Сх, . . ..., С и
кривой В, проходящие через рассматриваемую точку бифуркации М: Проведем
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 63 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed