Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
равен тождественно нулю и будет меньшей степени, нежели / (А,).
Действительно, предположим, что в первой же строке находится на j-й
колонке элемент /i (А,), не делящийся на / (А,). Если /t (А,) имеет
степень меньшую, нежели / (А), то желаемого можно достичь простой
перестановкой первой и й колонок. Во всех других случаях
fi (А) = q (А)/ (А) + г (А),
где г (А) представляет полином степени низшей, нежели / (А). Тогда,
присоединяя к элементам й колонки элементы первой колонки, умноженные на
- q (А), получаем в преобразованной A-матрице элемент г (А) в первой
строке и /'-й колонке; если этот элемент переместить на место первого, то
получим требуемый результат.
Рассуждения эти переносятся и на тот случай, когда не делящийся на
/(А)элемент находится в первой колонке.
Пусть теперь не делящийся на / (А) элемент стоит в i-й строке и /-й
колонке. Пусть элемент первой строки и /-й колонки есть i|) (А) / (А).
Присоединяя тогда элементы 1-й колонки, умноженные на - ф (А), к
элементам /-й колонки, в 1-й строке и /-й колонке
получим 0. Присоединяя /-ю колонку к первой, получим / (А)
в качестве первого элемента, а в первой колонке и ?-й строке будет стоять
элемент, не делящийся на / (А), пользуясь которым, мы уже умеем уменьшать
степень первого элемента.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
57
Таким путем мы всегда можем сделать первым элементом /.-матрицы элемент с
наинизшей степенью А и притом не обращающийся тождественно в нуль, если
исходная A-матрица не состояла сплошь из нулей. Если этот элемент не
является общим множителем остальных, то повторяем снова указанный
процесс, каждый раз понижая степень первого элемента, так что после
конечного числа операций возможность применения указанного приема должна
прекратиться (а именно, когда первый элемент станет общим множителем всех
остальных).
Преобразованиями 3° все элементы первой строки и первой колонки могут
быть тогда приведены к нулю, за исключением первого элемента Et, и
интересующая нас квадратная матрица Л (А,) ранга п примет вид
Е, 0 . . 0
0 Ъгг • 62П
0 ^>12 ' . ь пп
при этом Ег (к) ф 0 является делителем всех bri.
Продолжая этот процесс дальше по отношению к матрице ] bu 1 и к
дальнейшим, мы приведем исходную А (А)-матрицу к виду
Е, 0 . . 0
0 Е% . . . 0
0 0 . Е п
ибо ранг исходной матрицы в интересующем нас случае характеристического
определителя А (к) равен п. В каждом полиноме Ei (к) коэффициент при
высшей степени к сделаем равным единице. Полином Et (к) согласно процессу
своего образования является делителем Ej (к), если /' г.
28. Общий наибольший делитель определителей г-ro порядка последней
матрицы равен
D, (к) = Ег (к). . . Е, (к).
Если окончательная матрица получилась от элементарных преобразований А
(А)-матрицы, то корнями полиномов Et (к) являются корни
характеристического уравнения А (А) = 0, ибо значение определителя А (А),
очевидно, пропорционально произведению
Е1 (А) . . . Еп (А).
Обозначим через
А^, . . ., А,
различные и неодинаковые корни характеристического определителя А (А), а
разложение полинома Et (А) на элементарные
58
ГЛ. 4. О ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
множители запишем формулой
Et (к) = (А - к/1. ..(к- к/* (i = 1, ¦ • п).
Входящие в функции Et (к) множители
(к -к/*
с отличными от нуля показателями е\ называются элементарными делителями.
Для каждого корня kj отвечающие показатели е\ удовлетворяют неравенству
е\ > eh (i - 2, . . п),
так как при приведении А (к) к каноническому виду полином Ei получался
делителем всякого Ej, если /' г.
Элементарные делители Д (А,) определяют структуру частных решений для
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Действительно, пусть нас интересуют решения, отвечающие корню А = А", для
которого элементарные делители имеют вид
(А - А0)*".
Минор порядка г является определителем порядка i = п - г. Отсюда
кратность рг корня А = А0 для общего наибольшего делителя /)"_г миноров
порядка г будет
Рг = е1 + • ¦ • + еп-п
и, следовательно, разность pr_j - рг, определившая в п. 26 число частных
решений в соответствующей группе корня А =
¦ А0, есть Рг-х Рг ^п-г+х*
Этим устанавливается, что показатели е\ элементарных делителей равняются
числам решений в соответствующей группе, принадлежащей корню kj.
29. Пример. Зададимся системой дифференциальных уравнений
dx , dx' г, ,
It ~ X ' ~dt x '
% =У'' ^=-y-2y' + p(x-}-x').
Если угодно, пример этот возможно моделировать двумя механическими
системами с указанными силами, из которых первая через посредство
некоторых следящих систем создает силы р (х + х'), действующие на вторую
систему.
Будем следовать правилу п. 25, 26.
1°. Сначала нужно выяснить элементарные делители характеристической
матрицы А (А).
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
59
2°. Для некоторого корня Я = Я0, начиная с отличного от нуля при Я = Я0
минора точно наивысшего порядка к, определить цепочку миноров (со знаком)
Aii---, V, it-ir
с какими-либо одинаковыми индексами при г - 1, . . к так, чтобы при
