Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
? А» = ца. AJa ^A0 = (Ю.30)
где A0 (Л0) —те значения мультииндекса A9 для которых хотя бы один из входящих в состав мультииндекса А контравариантных (ковариантных) тензорных индексов, относящихся к CCK Iа, принимает значение 0. Например, из определяющих параметров (7.1) к числу ЦА° принадлежат значения параметров }pf9 ^a9 ф®, фа при a = O9 а к числу рА — значения параметров р$9 рр, mtp, при р = 0.
Связи вида (10.29) можно разрешить относительно \ЇА° и ЦА\ причем
ft рА/Ау IlAo = Om (10.31)
Здесь (и ниже) мультииндека А/A0 пробегает значения, получаемые исключением из значений мультииндекса А тех, которые принадлежат к A0. Производные Xva присутствуют в первом равенстве (10.31) из-за того, что они входят в выражение для компонент 4-скорости иа. Например, для параметров и /?р, таких, что Ua^fc = O и
и$р? = 09 имеем
^0 = — U0Uatya, Po = 0.
Так как связи (10.29) содержат производные Xva =» = dxv/d?a (через них выражаются компоненты 4-скорости сплошной среды), то с помощью таких связей, вообще
§ 10] СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 129
говоря, можно преобразовать выражения для действия / и функционала бW* так, что изменятся порядки максимальных производных, входящих в / и bW*. Поэтому необходимо уточнить смысл утверждения о том, что выражения (7.18), (7.19) для действия / и функционала бW* не содержат производных определяющих параметров выше второго порядка. А именно будем предполагать, что после исключения из / и бW* параметров ЦА\ рА (при помощи равенств типа (10.31)) выражения для / и бW* не содержат производных ог определяющих параметров выше второго порядка.
Кроме связей типа (10.29) могут быть, конечно, и другие связи. В дальнейшем ограничимся частным случаем, когда после исключения параметров ?И°, рЛ эти связи можно представить в виде
/?я(]іл/ло) = 0, (10.32)
не содержащем значений рл°, а также параметров \лА, не принадлежащих к числу рЛ Легко видеть, что связи (7.7), рассматривавшиеся в § 7 в качестве примеров, принадлежат к связям типа (10.29) или (10.32). Действительно, связи (7.7), в которых фигурируют компоненты 4-скорости сплошной среды, очевидно, относятся к типу (10.29). Остальные же связи (7.7) приводятся к виду (10.32). Покажем это на примере связей
N N
Pp= S Ріь- (Ю.зз)
i= I 1=1
Согласно равенствам (7.7), Ua^a = 0, Ua^f = 0. Это связи типа (10.29). Разрешим их относительно -ф0 и tyj:
= — U0Ua^at = — U0Ual^i.
Подставляя найденные выражения для -ф0 и -ф? в первое соотношение (10.33), найдем, что оно при а = 0 является следствием равенств
N
(10.34)
І= I
получаемых из первого соотношения (10.33) при а = 1, 2, 3. Таким образом, связи, задаваемые первым равенством
5 Л, Tf Черный
130
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
(10.33), сводятся к связям, относящимся к виду (10.32). Для связей, задаваемых вторым равенством (10.33), это еще более очевидно, так как в силу равенств = 0 и = 0 (связи типа (10.29)) имеем ра = рі0 = 0.
Предположим, что наложенные на определяющие параметры \1А связи либо принадлежат к виду (10.29), либо сводятся к виду (10.32). Тогда их можно сформулировать так, что они будут описываться соотношениями
RB(jiA'A\ \хА\ х$ = 0, (10.35)
которые обладают следующими свойствами. При любых фиксированных значениях мультииндекса A0 от параметра {1А° зависит лишь одна из функций Rb (обозначим ее через RB{A0)). Среди функций Rb могут быть также функции, не зависящие от параметров \iA° ни при каких значениях мультииндекса A0. От производных x^ = dxv/?>a зависят только функции Rb^aoK В качестве соотношений
(10.35), обладающих указанными свойствами, можно использовать, например, соотношения (10.31), (10.32). Поэтому приведение рассматриваемых связей к виду (10.35), действительно, всегда возможно.
Тождества, вытекающие из свойств связей. Для рассматриваемых связей можно продолжить функцию Л V—g и функционал 6W* на любые значения аргументов \лА (не удовлетворяющие связям) так, что коэффициенты при вариациях параметров [И0 и их производных в выражениях (8.2) и (7.19) для функционалов 6/ и 6W* будут равны нулю1):
dV^g A __ dV~g\ _ dV^g А =
д\хА° дда\1А° ддад^А° ’ (10.36)
МА» = М% = М°$ = 0.
Этого можно добиться, например, исключив при помощи первого равенства (10.31) параметры \лА* из функционалов I и 6W* и продолжив затем их на любые значения (хл° так, чтобы действие / и функционал 6W* от не зависели. При этом по предположению максимальный порядок вхо-
1J Коэффициенты при SdaJii4, 6дад$рА в выражении (7.19) для 6W* обозначаются соответственно через МА, Mc^1 M0^.
S 10] СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 131
дяших в выражения для / и 8№* производных от определяющих параметров не будет превышать число 2.
Динамические уравнения (8.29) для определяющих параметров fH0 будут иметь вид
6 К—gA , 6а>* , , -,/¦—~дЯь Л /In о7\
-щр- + + і-вГ-вщя-О, (10.37)
так как связи (10.35) не содержат производных от рА (параметры Xv(Ia)y производные от которых входят в равенства (10.35), к числу [Iаu не принадлежат). На основании равенств (10.36) и выражений (8.5) и (8.8) для
