Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
{^л/в + ГГ-^|}%0. (10.7)
Соотношения (10.6), (10.7) с учетом выражений (9.17) для коэффициентов WA, Wa' и равенств (9.9), (9.39) можно записать также в виде
j (WVb + Wf dpIi) Ia d% + J -- (Wflaffli) d% = 0,
dV f±
(10.8)
{(Пі + Wf OiiIi) la—(Wfuflty* = 0. (10.9)
В области непрерывных процессов из соотношения
(10.8) на основе формулы Остроградского — Гаусса (1.45) и произвольности области V следует дифференциальное уравнение
daV^gim+wfdfiii)=о. (10.10)
J) В дальнейшем используются обозначения {Л}± = А+-\- А_> [А]± = Ajr-А_, где А — любая величина, Л+—-ее значения на сторонах гиперповерхности разрыва.
120
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
Соотношения (10.6)-(10.10) выполняются тождественно на действительных процессах (т. е. для определяющих параметров \iA (?Y), удовлетворяющих динамическим уравнениям, условиям на разрывах и связям), если существует допускаемое связями непрерывное конечно-параметрическое преобразование определяющих параметров (10 1), удовлетворяющее условию (10.5). Сформулированное утверждение принято называть теоремой Нетер1).
Отметим, что входящие в соотношения (10.6), (10.7) величины Wa, Wа являются однозначно определенными функциями от определяющих параметров и их производных. Эти функции задаются формулами (9.17) и зависят также от характеристик локальных геометрических свойств рассматриваемой гиперповерхности. Второй интеграл в равенстве (10.6) сводится к интегралам по двумерным ребрам гиперповерхности dVПодынтегральные выражения в них, как уже отмечалось, тоже являются однозначно определенными функциями от определяющих параметров и их производных (а также от геометрических характеристик гиперповерхности). В целом левая часть равенства
(10.6) представляет собой сумму интегралов по гладким участкам рассматриваемой гиперповерхности и по ее ребрам. Подынтегральные выражения в них однозначно определены значениями определяющих параметров и их производных и, следовательно, могут иметь физический смысл [1—5]. Напротив, выражения в круглых скобках в соотношениях (10.8)-(10.10), вообще говоря, не являются однозначно определенными функциями определяющих параметров и их производных в силу неоднозначности процедуры построения величин W0At W0A (см. § 9). Они определяются однозначно только при дополнительном условии W[a^ = 0, которое в дальнейшем считается выполненным. При этом выражениям в круглых скобках в соотношениях
(10.8)-(10.10) также можно приписать физический смысл (см. ниже). В частности, если сумма б/+ 61^* не зависит от производных от вариаций 611і4 выше первого порядка, ТО ИЗ условия W1A^=zO следует, ЧТО W0A ^ 0. Именно этот случай, Для которого величины Wa определяются
*) Из приведенного доказательства тождеств (10.6)-(10.10) очевидно, что для их выполнения досцато'т’ас существования системы допускаемых связями вариаций (10.2), для котоэых справедливо условие (10.5).
§ 10) СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 121
однозначно обычно рассматривается при формулировке и доказательстве теоремы Нётер [6, 7].
Динамические характеристики, связанные с однородностью и изотропностью пространства событий. Рассмотрим в качестве примера преобразование определяющих параметров, соответствующее преобразованию Пуанкаре галилеевой системы координат наблюдателя Xv. Пусть относительно исходной ГСК Xх определяющие параметры имеют значения (Xy4(^v), а относительно некоторой другой ГСК х'х их значения равны jiM(?Y). Бесконечно малое преобразование ГСК Xv представляет собой бесконечно малое преобразование Пуанкаре, которое на основании формул (1.3) можно записать в виде
Х'Ц = (8S + в?) ATv + г» = jf* + e{,V + е“,
„ (10-11) блЯ = X'V — Idi — Xv$ -J-
Здесь через 6“ + ev и є11 обозначены фигурирующие в формулах (1.3) коэффициенты IT, /'м, соответствующие бесконечно малому преобразованию (еД‘, Sli — бесконечно малые величины). Из первого равенства (1.5), выражающего собой условие инвариантности интервала (1.1), вытекает соотношение
e“v = — ev“ (ev“ = gv'Aety. (10.12)
Таким образом, бесконечно малое преобразование ГСК Xv полностью определяется параметрами е1", ev, среди которых десять независимых. Значения определяющих параметров относительно ГСК *'v также должны полностью определяться их значениями \иА относительно ГСК Xv и коэффициентами /у\ /'“ преобразования Пуанкаре xv-^x'v. Поэтому для бесконечно малого преобразования Пуанкаре имеем
I& (iiB) ^ + lUvB) *v, 0 j
IUV- Ivtit
т. е. в рассматриваемом случае роль вариаций 6qB в формулах (10.2) играют бесконечно малые величины Eixvf Ev.
Пусть физическая система, описываемая определяющими параметрами ц>А(1у), замкнута, т. е. отсутствуют любые внешние воздействия. Тогда в силу однородности и изотропности пустого пространства событий Минковского
122
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ ГГЛ і
значения определяющих параметров |х'А должны удовлетворять связям, если им удовлетворяли исходные значения IIа. Поэтому для вариаций (10.13) выполняется соотношение (10.3). Кроме того, в силу однородности и изотропности пространства событий при дополнительном изменении вариаций определяющих параметров JLiy4, вызванном бесконечно малым преобразованием ГСК xv, значение функционала 6/ + 6W7* должно оставаться неизменным. Поэтому для вариаций определяющих параметров {10.13), полностью обусловленных бесконечно малым преобразованием ГСК Xvy выполняется соотношение (10.5).
