Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ущ (? V^g Ge^lO Ia = yL, (аэ v=g Q<*) IabiI +
+ t<&*№ + ^F М“РЛ).
В результате тождество (9.32). примет вид 6Q*= +
+ UafiaHn d%+ j ~OcflPfP6fi)-o. (9.33)
dP
При помощи обычной формулы Остроградского — Гаусса для трехмерного пространства переменных ?* последний интеграл здесь сводится к интегралу по двумерным ребрам гиперповерхности dV.
Некоторые тождества. Положим функцию 8ц. (Iv) равной нулю на ребрах гиперповерхности dV. Тогда последний интеграл в тождестве (9.33) также будет равен нулю. Функция бц (Iv) является произвольной функцией в области V Очевидно, на гиперповерхности dV (с вырезанными ребрами) значения величины 8ц (Iv) и производной от нее дбц./д/(0) по направлению, не лежащему в касательной к д9 плоскости, также являются произвольными независимыми между собой функциями. Поэтому для выполнения
5 9] УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ 113
тождества (9.33), когда функция 6ц равна нулю на ребрах гиперповерхности dV, необходимо и достаточно, чтобы в первом интеграле в равенстве (9.33) коэффициенты при величинах 6ц и дбц/д/(0) были тождественно равны нулю:
Ia -L= д„ v~g Gotp - -?г (Л/П. GeW =¦ 0. (9.34)
V — g оі*
Напомним, что здесь
/Г ^T. /MfiU 6 = 0, Л, (9.35)
/ob = д/°7д?*, a ff0) — любые функции от ?*, для которых 1/(6)1=/=0 при каждом значении переменных Тождества (9.34) должны выполняться на любой гиперповерхности для любых антисимметричных по индексам а, (І функций QaP.
Отметим, что для функции 6ц (Iv), не равной нулю на ребрах гиперповерхности dV, из равенств (9.33), (9.34) вытекает следующее тождество:
6Q0 = j (йаР/«/Г6ц) d% - 0. (9.36)
dV
Как уже отмечалось, этот интеграл сводится к интегралу по двумерным ребрам гиперповерхности dV, который, следовательно, равен нулю. Поэтому из произвольности функции 6ji вытекает, что коэффициент при 6|х в указанном интеграле по двумерным ребрам гиперповерхности dV тождественно равен нулю.
Рассматривая функции ?2a&(?Y) как компоненты антисимметричного тензора ?2аРЭаЭр, записанные относительно CCK Ia9 и используя второе соотношение (1.36), легко преобразовать левую часть первого тождества (9.34) к ковариантному виду, после чего оно примет вид
/aVpQ«e = ^(Qap/a$>). (9.37)
Считая затем переменные Ik криволинейными координатами в пространстве событий, связанными с галилеевыми координатами Xv достаточно гладкими функциями Xv (|“), можно перейти в тождествах (9.34) к ГСК jcv. В результате найдем, что на любой гиперповерхности в простран-
114 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ [ГЛ. 3
стве событий для любых антисимметричных по индексам |Х, V функций (хя) должны выполняться тождества
Wiv = 0§г (^Vv1), ^Vv0' = о, (9.38)
Тождества (9.34) (а также (9.38)) можно доказать и путем непосредственных выкладок. Например, используя при вычислении величин /v‘, f$} по формулам (9.9) выражения (9.12) для определителей /, /, найдем, что
f<0> f<0) _ /П OQV
и ‘Л ~ т-h-їж~ TV^i- |939>
Поэтому в силу антисимметрии величин имеем
= QVlJfi/f V~g - О,
и, следовательно, второе тождество (9.34) доказано.
Выкладки, которые необходимо провести при непосредственном доказательстве первого тождества (9.34), носят значительно более сложный характер.
Если скалярный квадрат вектора I не равен нулю, то в силу равенств (1.40) и (1.42) метрика на рассматриваемой гиперповерхности невырожденна:
\(f (k) 'f(r)) I = I ga$f(k)ftr) I == I Gkr I = G -ф 0.
В этом случае правую часть равенства (9.37) после деления на VIGI можно преобразовать к поверхностно кова-риантному виду
” тт w "v'
Здесь —ковариантная производная в трехмерном пространстве переменных ?* с компонентами метрического тензора Gkrt определенными равенством (1.40); па = = IjVIGI — 4-вектор, скалярный квадрат которого на основании равенства (1.42) равен —SignG = Zf I.
В результате первое тождество из (9.34) примет полностью ковариантный вид
naVpQ“0 = VwQ-Pna/^. (9.40)
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
115
Очевидным образом его можно записать также относительно ГСК JCv.
Замечание о канонической форме функционала 8й и способе однозначного определения величин Wa9
Преобразуя функционал 6?2, определенный равенством
(8.10), точно так же, как и функционал 6Q0, определенный равенством (9.31), приведем его к следующей канонической форме:
Подставляя в тождества (9.34), (9.36) вместо компоненты О/f и учитывая сделанное после тождества (9.36) замечание, найдем, что коэффициенты при 6ц,-4 и д8цл/д/(0) в канонической форме (9.41) функционала 6S2 равны нулю (последний интеграл в (9.41) здесь предполагается записанным в виде интеграла по ребрам гиперповерхности
функционала 6Q к правой части выражения (9.1) для функционала SW не может изменить его канонической формы (9.16), если последний интеграл в ней записан
хотя коэффициенты при 6ц.'4, д^бц."4 в выражении (9.1) для функционала 6W при этом изменяются (см начало настоящего параграфа).
Входящие в выражение (9.1) для функционала бW величины W°a, Wa/ были определены формулами (9.2) как функции от определяющих параметров и их производных. Как уже отмечалось, это определение не является единственно возможным, и величины W0A9 Wa^ в общем случае не могут быть определены однозначно. Однако единственности определения функций WcAt Wa^ можно добиться, наложив дополнительное условие Wf = W*?. Покажем это. Так как в выражениях (8.2) и (7.19) для 61 и 6№* величины dV—gA/d (дадрцА) и Ma/ умножаются на симметричные по индексам а, P вариации 6дадрЦА, то указанные величины всегда можно считать также симметричными по индексам а, P (кососимметричные части
