Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если участок гиперповерхности 2' в пространстве событий, соответствующий множеству значений сопутствующих координат S', образован мировыми линиями сплошной среды, то условия (9.26) обычно называют граничными условиями. Если же указанный участок гиперповерхности 2' образован точками трехмерного физического пространства, рассматриваемого в некоторый начальный момент времени X0Ic = t0 (относительно выбранной галилеевой системы отсчета), то условия (9.26) называют начальными условиями. Возможны, конечно, и другие случаи расположения гиперповерхности 2'.
Динамические условия на разрывах. Динамические условия на не содержащей ребер гиперповерхности разрыва % можно получить, задавая значения функционала 6W на множестве функций б^л[?±], для которых 8|хл = = дб|хл/д/(0) = 0 на граничной гиперповерхности dV [И]. Например, если все внешние воздействия на сплошную среду, сосредоточенные на гиперповерхности разрыва S0 включены в функционал 8W*> то имеем
61ПбЦл[2±]} = 0. (9.27)
HO
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ГГЛ 3
В дальнейшем это предположение всегда будем считать выполненным.
Для указанного множества функций 8[iA первый интеграл в выражении (9.23) для функционала 6W сводится к интегралу по двум сторонам S± гиперповерхности разрыва Sc. Второй же интеграл тождественно равен нулю ввиду того, что он преобразуется в интеграл по двумерной поверхности dV П S±, на которой б(х^ (?Y) == 0, так как по условию 6|хл = 0 на dV. Сравнивая теперь выражения
(9.23) и (9.27) для функционала бWf получим следующие равенства *):
ЩЬіі*+ W-Svla=O,
W^ +36 \ipdff + Wf-dS[iA/df^ = 0, (9-28)
которые должны выполняться на гиперповерхности разрыва %. Их вывод дословно совпадает с выводом вторых равенств из (9.21), (9.22), если при этом заменить гиперповерхность dV + S± на ?± и положить Wj\ = WiAzt = 0.
Когда нет никаких связей и, значит, все вариации бм4 (?Y) и их производные (36[Iа/df^} независимы, из соотношений (9.28) вытекают следующие условия на гиперповерхности разрыва:
W+A = Wa = 0, WiA + = WT = O. (9.29)
Если же на гиперповерхности разрыва Uc заданы скачки функций [Iа (Iу) и их производных d|iA/df(0) по направлению, не лежащему в касательной плоскости к S0 и никаких других связей нет, то имеют место равенства
6|^A = 6|Хл, d6|X+Afdff = — SbiiAldftIt.
Следовательно, независимыми являются значения вариаций Ь\іА и их производных d8\iA/df(0) только на одной из сторон гиперповерхности разрыва %. В этом случае из соотношений (9.28) вытекают такие условия:
W+A +wA = 0, WT - WT = о. (9.30)
Входящие в соотношения (9.29), (9.30) величины WAt WiA выражаются через определяющие параметры (Ii4(Sv)
*) Cm. предыдущее примечание.
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
111
при помощи формул (9.17), (9.2), в которых значения всех определяющих параметров берутся на одной и той же стороне гиперповерхности разрыва (для W% и Wa^ на ?+, а для W~A и W(a' на ?_).
Если на каждой из сторон гиперповерхности разрыва Ilf определяющие параметры должны удовлетворять некоторым связям, то вывод условий на разрыве из соотношений
(9.28) усложняется, так как возникает дополнительная задача учета этих связей. В пятой главе будут рассмотрены примеры конкретных моделей сплошных сред, в которых условия на разрывах выводятся при наличии связей между определяющими параметрами (на каждой из сторон гиперповерхности разрыва).
Рассмотренная выше формулировка динамических условий на разрывах и границах предполагает задание функционала 8W. Чтобы сделать это при построении конкретных моделей и решении задач, необходимо использовать фактические данные о физико-химической природе внешних воздействий на границах и разрывах. Если внешние воздействия отсутствуют или все они учтены в функционале 6W*, то по определению можно считать 8W = 0.
Каноническая форма функционала 8й0* Используя процедуру приведения к канонической форме тождественно равного нулю функционала типа (8.10) или (8.12), можно доказать ряд важных тождеств, которые будут использованы в следующих главах. Для этого рассмотрим тождественно равный нулю функционал
6Q0 {бц (Sv)} = J ааа3 QaM d*i=о, (9.31)
в котором Q“e = — Qpa — произвольные, антисимметричные по индексам а, р, дважды дифференцируемые функции от Iv; 6ц — произвольная, дважды дифференцируемая функция от |v; V — произвольная область пространства переменных Iv, ограниченная гиперповерхностью dV.
Используя формулу Остроградского — Гаусса (1.45), преобразуем выражение (9.31) для функционала 6Q0 к следующему виду:
112 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ГГЛ. 3
Здесь Za-компоненты, вычисляемые по формулам (1.38): /а== —
eapv6 “ S €a$yb* ffk) “ “gFF »
где еа&уь — полностью антисимметричные индексы Леви-Чивита, причем ^0123 = -I; /а(?*)—функции, задающие в параметрическом виде гиперповерхность dV.
Исключим из выражения (9.32) для функционала SQ0 производные от функции б|л вдоль гиперповерхности dV. Для этого, используя вторую формулу (9.15), преобразуем подынтегральное выражение в равенстве (9.32) следующим образом;
