Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Равенства (11.10)-(11.12) очевидным образом обобщаются на случай любых определяющих параметров \лА% которые ортогональны 4-скорости сплошной среды по всем входящим в состав мультииндекса А ковариантным тензорным индексам, относящимся к CCK Iа:
Здесь A0 — те* значения мультииндекса At для которых хотя бы один из входящих в А контравариантных индексов, относящихся к CCK ?а, принимает значение нуль. Параметры (х^/а получаются путем исключения параметров \iA° из множества рассматриваемых определяющих
V'a(l'y) = Va (Iу)-
(11.10)
Иа(Гу) = Ha (Sv) («>а = 0). (11.12)
и'А/'А° (i'v) = n^u (Iv)» W* (?'v) = vA0 (Sv)(Sv).
(11.13)
СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ»
135
параметров \лА. Через 6La° обозначена сумма произведений, каждое из которых состоит из символов Кронекера и одной производной да (каждому нулю в рассматриваемом значении мультииндекса A0 соответствует одно произведение, в котором всем индексам из A0 соответствуют символы Кронекера, а выбранному нулевому индексу— производная да6?°). Условие ортогональности 4-скорости среды и параметров [iA по всем входящим в состав мультииндекса А ковариантным тензорным индексам, относящимся к CCK Iа, означает, что функции M^(Ey) должны удовлетворять связям, задаваемым вторым равенством (10.29). Отметим, что благодаря соотношениям (11.9) равенства (11.10)-(11.13) остаются в силе и для определяющих параметров, являющихся умноженными на Vy компонентами тензоров.
Как указывалось в § 7, лагранжиан и функционал 6W* зависят не только от определяющих параметров \iA (?Y), но также от функций хд(?а), представляющих различные заданные (неварьируемые) характеристики сплошной среды или физические постоянные. По своему физическому смыслу параметры хв (Ea) остаются постоянными вдоль мировых линий сплошной среды (т. е. зависят от ?а, но не от ?°) и не должны зависеть от выбора ГСК наблюдателя xv. Поэтому все компоненты тензоров, присутствующие среди параметров х5, относятся к CCK Iа. Кроме того, параметры пв не должны зависеть также от выбора способа параметризации точек на мировых линиях сплошной среды, и, следовательно, они должны быть инвариантны относительно преобразований (11.1) или (11.2):
Kb(V) = Xeftv). (11.14)
Для выполнения этого равенства необходимо и достаточно, чтобы мультииндекс В не содержал контравариант-ных тензорных индексов, а по всем ковариантным тензорным индексам, входящим в состав В, параметры хв были бы ортогональны 4-скорости сплошной среды, т. е. удовлетворяли связям типа (10.29). Так как иа = 8а/Vgoo1 то последнее утверждение означает, что кВо = 0 (здесь B0 — те значения мультииндекса B9 для которых хотя бы один из входящих в В ковариантных тензорных индексов принимает значение нуль). Достаточность сформулированного условия вытекает из первого соотношения (11.13), записанного для параметров хд. Его же необходимость еле-
136
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
дует из второго соотношения (11.13), записанного для параметров кв и показывающего необходимость отсутствия в мультииндексе В контравариантных индексов, и из соотношения типа (11.4), показывающего необходимость условия ортогональности 4-скорости и параметров хв по кова-риантным индексам из В (если и$А$Ф О, то из (11.4) следует неравенство Ay Ф Ay).
Вариация 6°. Пусть определяющие параметры \iA (?Y) описывают какой-нибудь действительный процесс. Обозначим через \л'А (?'Y) значения определяющих параметров \1А (Iy) относительно CCK S'Y, которая связана с исходной CCK Iа преобразованием (11.2), т. е. получается из нее в результате бесконечно малого изменения параметризации точек мировых линий сплошной среды. Будем рассматривать значения функций fi'A при ?'Y = ?Y как варьированные функции \лА (?Y):
VL'А W) = \la&v) +&\la.
Для вариации b°\iA с точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с 6?° справедливо выражение
6 V = Ц'л (S'*) - ^ (Г)(Ev - rv) =
= - б? eg® +11'A (I'V) - IIа (|V), (11.15)
в котором \iA (Iy) и, следовательно, |iM (?'Y)— значения определяющих параметров для действительных процессов.
Если определяющие параметры ортогональны 4-скоро-сти сплошной среды по всем входящим в состав мультииндекса А ковариантным тензорным индексам, относящимся к CCK Iа, то из общего выражения (11.15) и соотношений (11.13) вытекают следующие формулы для 6°iiA:
&рАіА'~-(дфА'А')ф,
SV0 = - (<3#Л,Ш0 + 6L3V.
Например, для вариации 6° от определяющих параметров (7.1), за исключением компонент 4-потенциала электромагнитного поля Aoct на основании общего выражения (11.15) для б°|хА и равенств (11.3)-(11.9) имеют
§ 11] СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ» 137
место такие выражения:
s°*v = -|^« =61е, 0»-17)
S0Pto =61е, б Omia = -^S?, (11.18)
= + 9) SV = -^ 6Е»,
6V=-?6^0+6M W-
64i = -^6g*.
(11.20)
Остальные перечисленные в (7.1) параметры ра, та,г|)а, ф“, <р (кроме Aa) удовлетворяют соотношениям, которые легко получить из соотношений (11.18)-(11.20), опуская в них индекс і. Для вариаций же бМа, используя равенства
(11.15), (11.4), можно получить следующие формулы:
