Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 101 СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 125
раметров, исключающее из рассмотрения соотношения на границе 6V.
Используя формулу Остроградского —Гаусса (1.45), выражение (10.19) для 8/ можно представить в виде
6д/ = 8|/I -(- 6 г/,
Vftc
6S/=i f -JrL=Z X
cJ V-і
(10.20)
X( 1S Aa ^dtiAa hd*bA)dS?-
Приведем функционал 6к канонической форме, исключив производные от 8/4 вдоль рассматриваемой гиперповерхности, с учетом условия 6А = 0 на dV:
Sj/_ f (-¦ УЗА, _ А ¦ *?Ек±,»Л X
+ - f — f-4= gA i mbA) d%. (10.21)
c J S^\V-g tyA* V* I V
2 ±
Как обычно, последний интеграл здесь сводится к
интегралу по двумерным ребрам (и краям) гиперповерхности S (. Поэтому в силу произвольности в области
Vjtc функции 6Л (?v), произвольности на границе 6V и на обеих сторонах гиперповерхности разрыва Si функции dbA/df{0) и произвольности на одной из сторон гиперповерхности разрыва функции 6Л (напомним, что 6Л+ = = 6Л_) из условия б/ = 0 и равенств (10.20), (10.21) получим следующие тождества:
бК^Л _Л df^gA . р»,_л /,пооч
126 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
которым должен удовлетворять лагранжиан Л. Здесь фигурные скобки означают, что берется сумма значений стоящего в них выражения на двух сторонах гиперповерхности разрыва*). Отметим, что первое равенство
(10.22) остается в силе и в случае, когда лагранжиан зависит от производных второго порядка от компонент Aa.
Подставляя во второе равенство (10.22) выражение (9.39) для fa {fa = IJfV — g) и учитывая произвольность компонент /а, найдем, что
(1024)
дд$Аа ддаА$ v 7
Это соотношение означает, что функция V—&Л зависит от производных 4-потенциала электромагнитного поля только через комбинации даА$ — д$Аа, которые на основании равенств (5.36), (1.36) совпадают с компонентами тензора электромагнитного поля Z7ap:
Pap = VaAfi - VlИа = даА$ - dfiAa.
Так как величина V—g не зависит от характеристик электромагнитного поля, то лагранжиан Л также может зависеть от производных даА§ только через компоненты Fa^
A = A (Fap, Aaf ...) (10.25)
Применяя теперь первое тождество (9.34) при
V — g QaP = д V—g AIddaA^ запишем равенство (10.23) в виде
( 1 6 Л ._____1_ , = п
\V=~g * V=Tgladfi ddaAfi /_~°-
Подставляя сюда и в первое равенство (10.22) выражение (10.19) для 6|/ —g AfbAa и учитывая антисимметричность величин дУ—gA/ddaAfi по индексам а, найдем, что
"о.
26)
Так как величина Y—g не зависит от компонент Aat то, используя формулу (1.35), соотношения (10.26) легко
х) Следует помнить, что, вообще говоря, Ia ф Ia-
$ 10] СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 127
записать в ковариантном виде
уа (дА/дАа) = 0, {la dA/dAa}L = 0. (10.27)
Этим условиям должны удовлетворять производные от лагранжиана по компонентам 4-потенциала электромагнитного поля Aa в области VVSc (первое равенство (10.27)) и на гиперповерхности разрыва Sc (второе равенство
(10.27)).
В пятой главе будет показано, что лагранжиан Л и функционал 6W* можно выбрать так, что производные дА/дАа будут совпадать с компонентами Ja 4-вектора плотности электрического тока в сплошной среде, поделенными на — с (с —максимальная скорость распространения взаимодействий). Тогда соотношения (10.27) будут выражать закон сохранения электрического заряда, который, таким образом, оказывается связанным с инвариантностью вариационного уравнения относительно градиентных преобразований 4-потенциала электромагнитного поля, обусловленной неоднозначностью определения 4-потенциала. Отметим, что уравнения (10.27) тождественно удовлетворяются в силу параметрического представления (5.14) для компонент Ja через параметры электрического тока г|эа и кинематических условий на гиперповерхности разрыва Sc для функций (gY), которые будут рассмотрены в § 14.
Отметим также, что, пользуясь произволом в определении 4-потенциала электромагнитного поля A9 всегда можно наложить дополнительное условие
(A-U) = AaU* = O9 (10.28)
которое эквивалентно условию Л0 = 0 (так как Ua = 0). Действительно, в результате следующего градиентного преобразования (здесь dx = l/gbod?°):
A'* = Act +BaA, A=-\A0dl° = — \ AaUrxdi
получим 4-потенциал электромагнитного поля, удовлетворяющий условию Aq = O и, следовательно, условию
(10.28).
Некоторые свойства связей. Обозначим через \лА такие определяющие параметры, которые по всем входящим в состав мультииндекса А тензорным индексам, относящимся к CCK Ia9 должны быть ортогональны 4-скорости сплошной среды. Согласно этому определению, среди па-
128 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
раметров \їА могут присутствовать и такие, которые вообще не имеют тензорных индексов, относящихся к CCK Iа. Легко видеть, что к числу Vla принадлежат все определяющие параметры (7.1), кроме компонент 4-потенциа-ла электромагнитного поля Aa. Указанные условия ортогональности параметров j\хА и 4-скорости сплошной среды представляют собой связи, которые можно записать так:
иаAja = 0> tfi р,т = 0. (10.29)
Здесь введены обозначения: a (P) — любой входящий в состав мультииндекса А контравариантный (ковариант-ный) индекс, относящийся к CCK Iа', А/а (Л/р) — мультииндекс, пробегающий значения, которые получаются из значений мультииндекса Af содержащих индекс а (р), путем вычеркивания этого индекса. Примем еще следующие обозначения:
