Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
6Й = -
C
д$+ 2 +
<)V + i+
dV + ?+)• Поэтому добавление тождественно равного нулю
в виде интеграла по ребрам гиперповерхности dtf + f!+,
116 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ [ГЛ. 3
dV—gЛ/д(дад$ііА) и McAt очевидно, не дают вклада в 6/ и 6U?*). Поэтому всегда существует выражение (9 1) для функционала 6W9 в котором WcF = W^. Докажем, что оно единственно. Пусть это не так, и при замене коэффициентов Wa, W0A =W/? в выражении (9.1) для функционала 6W на коэффициенты WaA, W0^ = Wau он не изменяется. Тогда, вычитая из канонического выражения
(9.16) для функционала 6W выражение, получающееся из
него путем замены W°a-+W°a, W0A-^W0Ay получим тождество
J [(WA-WA)6iiA + (WZ-W'Z)^-]d% +
dv + t±
+ J !*(...
dv + $±
Второй интеграл в нем сводится к интегралу по двумерным ребрам рассматриваемой гиперповерхности. Поэтому в силу независимости и произвольности вариаций 6ц л (I'’) и их производных дбnA/df{0) имеем
Wa-Wa = О, WX-WZ = 0.
Подставляя сюда выражения (9.17) для WA, Wa и аналогичные выражения для WA, W'a, получим следующие тождества:
(щ - w% Ia-^iwf- Wf) 1а№ - о, (Wf-Wf)IaW = о.
Так как на основании формулы (9.39) f'$'= I^IfV—g> то второе тождество (9.42) в силу произвольности компонент Ia выполняется тогда и только тогда, когда разность Wf - Wf антисимметрична по индексам а, р. Учитывая, что компоненты Wa^ симметричны и по условию компоненты W°? также должны быть симметричны по индексам а, Р, находим, что они равны между собой. После этого из первого тождества (9.42) в силу произвольности компонент Ia следует также равенство коэффициентов W“ и W0A- Таким образом, действительно, единственности определения коэффициентов в неканоническом выражении (9.1)
УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ И ГРАНИЦАХ
117
для функционала бW (при независимых вариациях 6[іа} можно добиться, наложив дополнительное условие W[a&] = = 0. Если же, кроме того, сумма функционалов б/ и бW* не зависит от производных от 8\iA выше первого порядка, то из условия W^ = 0 следует, что W0^ = 0.
Отметим, что указанное условие симметричности компонент W0A делает невозможным произвольное изменение коэффициентов Wa, в выражении (9.1) для функционала бW путем добавления к нему тождественно равного нулю функционала 6Q, определенного равенством (8.10), в котором Qotp = — Ф 0.
В настоящей главе при формулировке вариационного уравнения (§ 7) и выводе динамических уравнений для непрерывных процессов (§ 8), а также условий на границах и разрывах (§ 9) мы ограничились случаем, когда выражения для действия / и функционала бW* не содержат производных от определяющих параметров и их вариаций выше второго порядка. Этот случай позволяет продемонстрировать основные черты, присущие общей теории построения моделей сплошных сред на основе вариационного уравнения Jl. И. Седова, в котором действие / и функционал 8W* могут содержать любое конечное число последовательных производных от определяющих параметров и их вариаций. Указанная общая теория была развита в работах академика JI. И. Седова и его сотрудников [1—7, 9—22].
ГЛАВА 4
ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
§ 10. Симметрия вариационного уравнения и связанные с ней тождества
Инвариантность относительно конечно-параметрических преобразований определяющих параметров. Теорема Нё-тер. Пусть (Iy4(Iv)-SHaqeHHH определяющих параметров, соответствующие действительным процессам, т. е. удовлетворяющие динамическим уравнениям, условиям на разрывах и связям. Рассмотрим допускаемое связями и непрерывно зависящее от конечного числа параметров qB преобразование определяющих параметров (Liy4:
(іА = \іА-{- Iа (lic, qB), іа([іСу 0)==*0. (10.1)
Определим вариации л , соответствующие бесконечно малому преобразованию (10.1), равенствами
W = IBbqa, I в . (Ю.2)
0Q Q3=O
По условию функции \1А (Iу) удовлетворяют в области V0 связям, т. е. равенствам (8.17) и кинематическим соотношениям на гиперповерхности разрыва, и, следовательно, их можно рассматривать как значения определяющих параметров для некоторых возможных процессов. Тогда для определяющих параметров (Liy4 и их вариаций Ьд\1А функционал 6Rt введенный для учета связей, тождественно равен нулю:
SqR = O1 (10.3)
а выражение (9.16) для функционала 6W с учетом динамических условий на разрывах (9.28) можно представить в виде
1
I [wAli + W^^§r)dK +
IdV
+ J (10.4)
w + S-t-
§ 101 СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА 119
Пусть преобразование (10.1) таково, что для определяющих параметров [iA и их вариаций 8q\iA справедливо равенство
6,/ + 8,№*=0. (10.5)
Тогда из вариационного уравнения (8.23) и условия (10.3) следует, что для определяющих параметров \лА и их вариаций обращается в нуль также и функционал 6W. Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях 6qB в выражении (10.4) для функционала Ш, найдем, что на действительных процессах выполняются следующие тождества:
I [waIb + Щ0) dS) d^ + J ?f (WflaftiIf) d% = 0.
dV dV+t±
(10.6)
Выбирая в качестве области V бесконечно тонкий четырехмерный слой, содержащий произвольную часть гиперповерхности разрыва, из равенства (10.6) получим тождество, выполняющееся для действительных процессов на гиперповерхности разрыва1):