Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
б«А - Л' (Sv) _ A (gv) = Л' (g'v) — ^ б|° — Л (gv).
Учитывая соотношение (11.30) и равенство Ua = 8*/Yg00> получим окончательную формулу для б°Л
6®Л = = - (У}& и“ даА) 6g«. (11.31)
Подставляя значения вариаций b°xv> 6°Л (см. равенства
(11.17), (11.31)) в выражение (11.29) для 6/, преобразуем его следующим образом:
б°7 = : J [-V^gVitoblWdaA-
vj±c
- Ada (V=g IUv Vgio Sg0)] d* g=
= -| J da(V^gAu*Vg^bi«)d%
v/ic
Применяя затем формулу Остроградского — Гаусса
(1.45), найдем окончательное выражение для 6°/:
б»/=-1 J AunriVgmb^dX. (11.32)
dV+i±
Тождества для лагранжиана. Выражения (11.28) и
(11.32) для функционала 6°/ должны, конечно, тождественно совпадать между собой при любых функциях 6|°(?Y). Поэтому, рассматривая значения вариации 6|°, равные нулю на границе области V1% и произвольные внутри нее, получим из соотношений (11.28), (11.32) следующее тождество:
6 Vr-IfAl, „о I
142
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
Учитывая определение собственного времени т, его можно записать в виде
Ь-Хикй(11.34)
OAa С OJUL^i dx
При выводе этого тождества существенно использовалось равенство S0Xfl = O. Если параметры хв (?Y) удовлетворяют всем перечисленным выше условиям (отсутствие в составе мультииндекса В контравариантных тензорных индексов и ортогональность кв 4-скорости среды по всем ковари-антным тензорным индексам из В), за исключением условия дхя/д?° = 0, то вариации 6°хд равны
Ь°кв = ~
В этом случае при вычислении вариации б°/ первым способом необходимо учитывать, что 8°квф0. В результате в равенстве (11.28) в скобках добавится еще одно слагаемое, и тождество (11.34) примет вид
6 р цВ 16 V~g AdjIy4 1 д A dXfl _ ^
SAa с бр/ дх с дкв dx
(11.35)
Отметим, что, согласно равенству (11.32), вариация действия б°/ обращается в нуль, если б?° = 0 на границе области V/%. Указанное свойство вариации 6°/ непосредственно вытекает из скалярности действия I
b4=l’[V/%] -1 [V/%]= /' [(P/tn-1 [Vltc] = о,
(11.36)
так как (V!%)'= V!"Zc при 6?° = 0 на границе области
v/%.
Выражение для функционала 6° IV*. На основании равенств (8.3), (8.7) функционал б№* можно представить в виде
6Г* = - С d*l + bzW*, (11.37)
с Л «м.
V/r,
* 41
СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ»
143
где, согласно соотношениям (8.8), (8.9), (8.11),
= V-g Ma - dav=g МаА+дадь V-8 Mf,
Пусть, как и в предыдущих пунктах, определяющие параметры имеют вид (11.24). В следующей главе будет показано, что, используя в числе определяющих параметров введенные в § 5 параметры электрического тока г|эа, можно строить модели сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, не включая в функционал бW* вариаций 4-потенциала электромагнитного поля бAa. Поэтому ограничимся случаем, когда функционал 8W* зависит только от вариаций бр^4. Рассмотрим вариации определяющих параметров бVу4» введенные выше в связи с бесконечно малым преобразованием сопутствующего «времени», и найдем для них значение функционала 6W* =з = 6 0W*.
Для определяющих параметров р/ из тождеств (10.36) вытекают равенства
а для вариаций б0^ справедливы выражения (11.16). Поэтому имеют место следующие соотношения:
+ Mflad^nA]d%.
бц-4
б W*
144 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
Учитывая их, выражение (11.37) для функционала SU?* при Hi4 = Pi4 и 5^л_§орл легко представить в виде
бои7*=_1 f bEL*?®°d4 + bW*, (11-38)
Vlsc
8IW-J- j {[(/ИЗ- J= hV=g
av+f±
+Т=«»(*/=«Я5'ж)]'“бг'’+
+[^•* ^gr/.]? «?•}<«.
Преобразовав функционал b^W* к канонической форме относительно вариации б|° (это преобразование абсолютно аналогично преобразованию к канонической форме функционала 8W), получим для него следующее выражение:
er.--l J {[(«-т=
av + r±
+F=f aP if)- щ* %- l^)]6?°+
+ f Щь{мУ^1<Лк)№)<1К. (11.39)
ai/ + l±
Последний интеграл здесь сводится к интегралу по двумерным ребрам рассматриваемой гиперповерхности.
Если вариация fi?° равна нулю вместе с ее первыми производными на границе области VVSc, то значение функционала S0IF* на действительных процессах можно найти также непосредственно из вариационного уравнения (8.23). В самом деле для действительных процессов вариационное уравнение в форме (8.23) должно быть справедливо при любых вариациях 6|шЛ1). Подставляя в него значе-
1J В том числе и не удовлетворяющих связям, так как вариационное уравнение (8.23) содержит функционал SR, введенный для учета связей методом неопределенных множителей Лагранжа.
§ IlT
СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ»
145
ния вариаций 6°jx 4 и учитывая, что для функционалов 6°7, 60R имеют место равенства (11.32) и (11.23), получаем соотношение
J AuaIaV &o8l°d% +S0W*+S0W = O. (11.40)
dV + І+
Здесь S0UP — значение функционала бW7 при Sp^ = S0HA Очевидно, при 6g° = da6g° = 0 на гиперповерхности dV + + функционал б0U7 обращается в нуль, и из уравнения (11.40) следует, что в этом случае также 8°№* = 0.
Тождества для коэффициентов при вариациях в функционале 6IV*. Пусть вариация 6|° произвольна внутри области Vfee и обращается в нуль на ее границе вместе с производными да8|°. Тогда S0Writi = O, и из выражения
