Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
б V—gA/бр/0 _и dw*/dfLAu, в которых надо заменить [і на р и M на Mr найдем, что первые два слагаемых в равенстве (10.37) равны нулю. Кроме того, из перечисленных выше свойств связей (10.35) следует, что dRBld(iA0ФО только при B = B(A0)t т. е. только для той единственной функции RB{A0)t которая зависит от ?И° при данном значении мультииндекса A0. В результате из уравнений (10.37) находим
W«> = 0, (10.38)
т. е. все неопределенные множители Лагранжа для связей (10.35), зависящих от параметров р'40, равны нулю. Так как связи (10.35) зависят от параметров рл° и производных dxv/dla = xv только при B = B(A0)t выражение (8.19) для функционала бR можно записать в виде (учитывая, что Я,д(л«) = 0)
**-7 ^ = <10-39>
Из этого выражения следует, что для рассматриваемых связей определенный равенствами (8.21), (8.22) функционал SzR тождественно равен нулю. Тогда на основании уравнения 6s/ + 6sH7* + 82#= 0 (см. конец § 8) имеем
8Г = —62/-82И7*. (10.40)
В выражениях же (8.30), (9.1) и (9.2) для функционала 8W7 и коэффициентов W*, Wa^ надо положить
6r* = XBR%* 6^ = 0, KbRcA3 = 0, (10.41)
5*
132
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
так как при Вф В (А°) функции Rb от производных определяющих параметров не зависят, а при B = B(Aq) имеем Xb = 0. Поэтому связи вида (10.35) на выражение для функционала 6W не влияют.
§ И. Преобразование сопутствующего «времени» и свойства вариационного уравнения
Преобразование сопутствующего «времени». Как уже
отмечалось выше (см. § 7), сопутствующая координата I0 (сопутствующее «время») представляет собой произвольный параметр точек на мировых линиях сплошной среды и не имеет физического смысла. Поэтому преобразование этого параметра
= I0), Ifa = Ia (ИЛ)
не должно влиять ни на движение сплошной среды (т. е. на расположение ее мировых линий относительно ГСК наблюдателя), ни на протекание различных внутренних процессов. Учитывая это обстоятельство, можно получить некоторые важные соотношения, которым должны удовлетворять производные от лагранжиана и коэффициенты при вариациях определяющих параметров в выражении для функционала 6№*. Для этого предварительно необходимо изучить поведение определяющих параметров при бесконечно малом преобразовании типа (11.1), которое можно записать в виде
= I* + 6« 6?0, 6?0 = Ы» (6Р). (11.2)
Очевидно, что преобразования (11.1), (11.2) являются частными случаями общего преобразования криволинейной системы координат Iа в пространстве событий Минковского. Пусть в состав мультииндекса А входят тензорные индексы А (5), относящиеся к CCK Iа. Тогда при изменении параметра I0 определяющие параметры \лА будут преобразовываться как компоненты тензоров с индексами А (?). При этом входящие в состав мультииндекса А нетензорные индексы, а также тензорные индексы, относящиеся к ГСК наблюдателя xv, не оказывают влияния на законы преобразования определяющих параметров \iA. Например, определяющие параметры (7.1) при бесконечно малом пре-
(11.6)
$ И] СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ» 133
образовании (11.2) будут преобразовываться по законам *'v (Ifa) = *v (|а); (11.3)
Ay (g«)=Ab (Г“) = a; (6'«)+^- б?лр (i'“); (И.4)
Pia(Iy) = Pia(Iry), тіа(ІУ) = т'іа(1'Уу, (11.5) гМт дІ’У it? U-V д б|° ItP
w (Г“}=* Гт(|а)=h{%а)+6v«wh аа)'
ф;т 3e'v ф? ф? д б?° <рР
Hf (5'“' = Wt (5а) “ Я (Е“>+К Й <5“);
(Г“) = ?= (Iа), -^= (Га) = ^(Sa). (11.7)
Vy Vy Vy Vy
Равенство (11.3) следует непосредственно из неизменности движения сплошной среды при преобразовании CCK ?“. Соотношения (11.5) доказываются аналогично соотношению (11.4) с учетом связей
“РРгр = 77= О.р = 0, и$тф = -L= б Jmip = О,
У Soo V Soo
вытекающих из определения компонент /7/р, Шф (см. § 5). Равенства (11.6), (11.7) следуют из доказанного в предыдущей главе свойства параметров г|$, ер/, фь согласно которому при произвольных преобразованиях CCK Iа величины ^aIYy > фf/Vy ведут себя как компоненты век-
торов с индексом а, а величины XrlYy, Фі/У^ї —как скаляры. Законы преобразования для перечисленных в (7.1) параметров рау та, г|эа, фа, ф легко получить из равенств (11.5)-(11.7), опуская в них индекс і.
Компоненты пространственного метрического тензора Yap, согласно равенствам (3.21), удовлетворяют условиям
«“Yap = TyL= 6*Yap = 0, s-L6ueYap=>0.
V Soo У goo
Поэтому закон преобразования компонент Yap при беско* нечно малом изменении параметра I0 имеет вид
т* (W-IIgfvJ. (Г Ч-
= YaHl v) + So ^ Vie + SS у'а, = Vall (4'?
134
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 4
(11.8)
I УаЬ I = I УаЬ I, Vy (Iа) = VY (I'*), (11.9)
и в формулах (11.6), (11.7) коэффициенты \/Vy и 1/VY можно опустить.
Из равенств, аналогичных равенствам (11.6), следует, что при бесконечно малом изменении параметра I0 контра-вар иантные компоненты |ха любого 4-вектора, соответствующие значениям тензорного индекса а=1, 2, 3, ведут себя как скаляры
Закон же преобразования компоненты |х0 более сложный:
Кроме того, из равенств, аналогичных равенствам (11.4), следует, что все ковариантные компоненты |ха любого 4-вектора, ортогонального 4-окорости сплошной среды, ведут себя при бесконечно малом изменении параметра ?° как скаляры
