Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, при отсутствии внешних воздействий все условия теоремы Нётер для преобразования (10.11) — (10.13) оказываются выполненными. Следовательно, для действительных процессов при Ib==Iv и Ib = I^v справедливы соотношения (10.6)-(10.10). Они называются законом сохранения энергии-импульса (при Ib = Iv) и законом сохранения момента количества движения (при Ib-I uv) среды. В этом случае первое подынтегральное выражение в равенстве (10.6) может рассматриваться как поток энергии-импульса (при Ib = I*) или поток момента количества движения (при Ib = Iuv) через элемент гиперповерхности d% и его двумерную границу. Второй интеграл в равенстве (10.6) сводится к интегралам по двумерным ребрам гиперповерхности dl?+ll±. Получающиеся при этом подынтегральные выражения определены однозначно и также могут рассматриваться соответственно как поток энергии-импульса или поток момента количества движения через элементы поверхности указанных двумерных ребер. Первое подынтегральное выражение в равенстве (10.8) может рассматриваться как поток энергии-импульса (при Ib = Iv) или поток момента количества движения (при Ib = Iuv) через элемент гиперповерхности d% без его двумерной границы.
Входящие в тождества (10.8)-(10.10) величины
г;0?=WVC + wfdfiif,
M-u?. — wv*,+w?d9i її» (10Л4)
образуют компоненты тензоров второго и третьего рангов Tw = TvaBv Эа = 7Tav3u = П*эЪа,
Mw = MiivaB^avSa = М^у'-Э^Э'-Эх = Mfiya Э^ЭуЭа,
§ IOJ
СИММЕТРИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
123
которые называются тензорами соответственно энергии-импульса и момента количества движения среды. Они определяются однозначно при дополнительном условии ИРГаЗ] = 0. Для компонент этих тензоров в галилеевой системе координат наблюдателя приняты следующие специальные названия: 71°0 — плотность энергии среды;
cT0k — компоненты трехмерного вектора плотности потока энергии среды; Tk0/c — компоненты трехмерного вектора плотности импульса среды; Tkr — компоненты трехмерного тензора плотности потока импульса среды; M^v0-компоненты плотности момента количества движения среды; M^k — компоненты плотности потока момента количества движения среды.
Учитывая определение компонент Tva и М'^ и тождество (1.34), соотношения (10.10) и (10.9) при /^=Zv и Is = I^v можно записать соответственно в виде
Первые равенства в (10.15), (10.16) называются соответственно уравнениями энергии-импульса и момента количества движения среды. Вторые равенства в (10.15),
(10.16) представляют собой условия баланса для потоков энергии-импульса и момента количества движения на разрыве. Уравнение, получающееся из первого соотношения в (10.15) при V = O, называется уравнением энергии, а уравнения, получающиеся из первого соотношения в (10.15) при v=l, 2, 3, называются уравнениями импульсов.
Инвариантность относительно градиентных преобразований 4-потенциала электромагнитного поля. Пусть среди определяющих параметров |хА присутствуют компоненты 4-потенциала электромагнитного поля Aa. Рассмотрим бесконечно малое градиентное преобразование 4-потенциала^ при неизменных остальных определяющих параметрах ]1А:
где 6Л (^Y) — произвольная, зависящая от точки пространства событий бесконечно малая величина, непрерывная
Aa = Aa +6 Aa9 бЛа = аа6Л, 6*И=0, (10.17)
124
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
[ГЛ 4
на гиперповерхности разрыва и равная нулю на границе дV области V:
6Л+ = 6Л~, 6Л Id- = O. (10.18)
Ограничимся наиболее важным случаем, когда выражение для лагранжиана не содержит производных от компонент Aa выше первого порядка. Как отмечалось в § 2, имеющие физический смысл уравнения должны быть инвариантны относительно общего градиентного преобразования (2.12) [8]. Математическим выражением этого утверждения применительно к динамическим уравнениям для непрерывных процессов и условиям на разрывах является требование обращения в нуль вариации действия 6/ при вариациях (10.17) компонент 4-потенциала электромагнитного поля и неизменных остальных определяющих параметрах1). Используя выражение (8.3) для ¦б/, найдем
- 7 I [iJStAd-M О-
V (10.19)
ьу~ц А _ д K—g А д dV^g А ЬАа - дАа ддрАа •
Здесь предполагается, что величина ЬА удовлетворяет на разрыве и границе области V соотношениям (10.18). Это дополнительное ограничение возникает из-за того, что динамические уравнения для непрерывных процессов и условия на разрывах могут быть получены из вариационного уравнения при условии непрерывности 4-потенциала на разрыве Sc и обращения в нуль вариаций 6Aa на границе dV (см. § 14). Первое из них представляет собой кинематическое соотношение Aa = Aa на Sc для определяющих параметров Ла(^). Второе же условие — это обычное ограничение на вариации определяющих па-
1J Если функционал 6W* зависит от 6Аау то, вообще говоря, для вариаций (10.17) должна обращаться в нуль только сумма 6/ + 6ИР* Однако обычно действие всегда выбирают так, чтобы оно было инвариантно относительно градиентного преобразования (2.12). При этом для указанных вариаций ЬАа всегда имеет место равенство a O1 что и предполагается в дальнейшем.
