Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(11.38) для (в котором Sstt7ils = O, так как 8|с =
= di8|° = 0 при ge=dl? + 2±) вытекает соотношение
^§-°- <"-41> которому должны удовлетворять коэффициенты при вариациях в функционале 6W*.
Приведенное доказательство соотношения (11.41) справедливо только для функций \iA (|y), соответствующих действительным процессам, т. е. удовлетворяющих динамическим уравнениям (8.29). Ho можно показать, что величины 6ш*/6[1>4 должны зависеть от определяющих параметров \іА и их производных таким образом, чтобы равенство (11.41) выполнялось тождественно, т. е. при любых функциях \1А (|y). Действительно, изменение способа параметризации точек на мировых линиях сплошной среды не влияет на физические процессы. Следовательно, функции |хм (|Y) = \iА (|Y) + SVy4 и \*>А (Iy) соответствуют физически не различимым процессам в области Vftct если вариация б|° равна нулю на границе этой области1). В этом случае функционал 6W* должен обращаться в нуль для вариаций 6°|хл при любых функциях M^(Iy):
6<>№* = 0, в|°|ді> + і+=»0. (11.42)
1J Это условие необходимо, иначе области определения функций Р'А и цА не будут совпадать.
146
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ
ГГЛ. 4
Заметим, что аналогичным свойством обладает также функционал 6°/ (см. соотношение (11.36)), а значит, и сумма 6°/ + 6°№*. Подставляя в первое равенство (11.42) выражение (11.38) для функционала 8°W* (при 6?° = = да8?°=:0 на гиперповерхности dV+ ?±) и используя
произвольность функции 6?°(?Y) внутри области V&c>
снова получим тождество (11.41).
Отметим, что динамические уравнения (8.29), имеющие для рассматриваемых определяющих параметров и связей следующий вид:
уза-о,
SAa бм- д\ь*
на основании тождеств (11.22), (11.33), (11.41) связаны между собой линейной зависимостью
Vgn'FafiUfi-
Поэтому одно из них является следствием остальных. В результате при решении конкретных задач можно произвольно выбирать способ параметризации событий на мировых линиях сплошной среды, т. е. функцию X0 = = X0 (Iay ?°), после чего остальные определяющие параметры находятся из уравнений (8.29). В частности, для действительных процессов всегда можно считать, что I0 = = A и, следовательно, ^oo=I в CCK ?а.
Рассмотрим значения 6?°, такие, что на границе области Vвыполняется условие 8?° = 0, но производная дЬостается произвольной функцией. В этом случае из тождеств (11.38), (11.42), (11.41) вытекает, что Sn2W* ===0. Подставляя сюда выражение (11.39) для функционала 6sW* (в котором надо положить 6?0 = 0) и учитывая произвольность функции д6?°/д/(0), найдем, что
MaA^-Ui' = 0. (11.43)
Согласно равенству (9.39), компоненты /р0) пропорциональны /р. Поэтому из равенства (11.43) и произвольности компонент Ia вытекает тождество
S U] СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ» 147
которому ДОЛЖНЫ удовлетворять коэффициенты McA , стоящие при вариациях 6(dadg]I‘4) в исходном выражении
(7.19) для функционала 6№*. Так как эти вариации симметричны по индексам а, р, то очевидно, и коэффициенты можно считать симметричными по а, р 1J, что в дальнейшем всегда предполагается. Тогда равенство (11.44) принимает следующий окончательный вид:
Л? ^r = O. (11.45)
Учитывая определение собственного времени (см. § 3), тождества (11.41), (11.45) можно представить еще в такой форме:
= = (11.46)
dx dx
Функционал S0W* на основании тождеств (11.41),
(11.45) записывается в более простой форме (при любых значениях вариации 6?° на границе области VVSc):
бои?* =6W* = _! J (11.47)
dV + t±
гіТгА
M- = (AR -yL,dp V~g №s>),
dp* с d\iA
dr Vlm d%° 9
(11.48)
причем всегда можно считать, что
MocUa = 0. (11.49)
Действительно, так как в основное вариационное уравнение функционалы SI и 6W* входят в виде суммы bl + 6W*f всегда можно переопределить лагранжиан Л,
1J Так как М^6дад^\хА =lfiM(^^ddad^\iA9 то антисимметричные части из исходного выражения (7.19) для функционала 6W*
выпадают.
»48 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
действие I и функционал 6W7* следующим образом:
A1 = A+-! МЧ. J1 = 1 J A1-K=^db
Vitc
8И7? = W * - - б [ -! Маиа v~g d%
С JC
Vfic
При этом все динамические соотношения, вытекающие из вариационного уравнения, остаются неизменными, так как
бЛ + вГГаибХ + бГ*. (11.50)
Записывая это тождество для вариаций б'У'1 и учитывая выражения (11.32), (11.47) для функционалов б°/, 6°№*, а также произвольность вариации б?° и компонент Ia, получим соотношение
A1Ua + -^Afit = AMa+-^Ma. (11.51)
Подставляя сюда значение Ab найдем компоненты Mat соответствующие функционалу bW*:
Mа = Ma- иащМр = — уаМР.
Очевидно, они удовлетворяют условию (11.49). При заданной сумме 8I + 8W* это условие однозначно определяет лагранжиан Л, действие / и функционал 8W*. В самом деле, пусть равенство (11.49) выполняется для функционалов 6W* и 6№*, причем имеет место тождество
(11.50). Тогда по-прежнему справедливо соотношение
(11.51). Умножая его на Uat найдем Ai = A и, следовательно, Ii==I. На основании же этого равенства из тождества (11.50) получим 6№* = 6№*. В дальнейшем условие (11.49) будем предполагать выполненным.
