Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
бма = - б„в (дрЛа) б?° - 60вЛр4 61е = = (OaAfi - дрЛа) б0р 6?« - да (б?Лр б|°) =
= Pар^о б^° да (б^Лр 6?°).
Учитывая, что иа = goo, найдем окончательное выра-
жение для б0Aa
S0Aa = V^0 UfiFafi б?° - да (Vg^o и»Afi б|°). (11.21)
Отметим, что второе слагаемое в правой части этого равенства обращается в нуль, если на 4-потенциал электромагнитного поля наложить условие UaAa=O (см. (10.28)). В этом случае
Aq = 6о Aa = 0, 8$Fоф = даАц до Aa = доАа,
и в полном соответствии с общим результатом (11.16) имеем
6Ma = VgVo UPFafi 6g® = - O0Aa б|«.
Значения функций кв при = т^кже можно рассматривать как варьированные функции Ke(Iv). причем в силу равенства (11.14) и условия дхв/д|° = 0 справедливы
138
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
соотношения
Wkb = к'в (SV)-Xlj(SY) =
= к'в (g'Y) - ХБ (gY) _ (дакв) = б?° Зхд/Э|0 = 0.
Таким образом, введенная выше вариация 6° для параметров кв оказывается равной нулю:
Рассмотрим связи (10.35), свойства которых были сформулированы в § 10. Для них определенный равенством (8.19) функционал бRt присутствующий в вариационном уравнении (8.23) для учета связей, имеет вид (10.39). Покажем, что для вариации б0]!'4 он тождественно равен нулю. Согласно определению фигурирующих в уравнениях связей (10.35) параметров рИ, последние ортогональны 4-скорости сплошной среды по всем входящим в состав мультииндекса А тензорным индексам, относящимся к CCK Iа. Поэтому для вариаций б0р/ будут справедливы соотношения (11.16), если в них над ц поставить черту. Используя их, выражение (10.39) для функционала бR можно записать в виде
Здесь учтено, что при Вф В (Л°) функции Rb зависят только от \iA!A\ а при B = B(Aq) множитель Xb обращается в нуль, и, кроме того, на основании равенств (10.35) для действительных процессов R3 = 0 и, следовательно, dRB/dt* = 0.
В результате для вариаций 6°|j/ функционал бR оказывается тождественно равным нулю:
8°кв = 0.
Например, имеем
с
s А В л А 9
д\1А
6г . dRB
—А = kB-T-J
причем
b°Rs«0.
(11.23)
S 11)
СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ»
139
Выражение для вариации действия 6°/. Предположим, что все определяющие параметры \iA, за исключением компонент 4-потенциала электромагнитного поля, ортогональны 4-скорости сплошной среды по всем входящим в состав мультииндекса А тензорным индексам, относящимся к CCK Iа. Таким образом,
^ = Ла}, (11.24)
где черта над |х обозначает указанную ортогональность. Рассмотрим вариации определяющих параметров б°ил* введенные выше в связи с бесконечно малым преобразованием сопутствующего «времени» (11.2). Вариацию действия б°/, отвечающую вариациям б0^ определяющих параметров, можно вычислить двумя способами. Сравнивая затем полученные выражения для 6°/, легко установить некоторые важные тождества, связывающие между собой производные от лагранжиана в случае, когда определяющие параметры имеют специальный вид (11.24).
Вычислим вариацию 80I первым способом. Выражение для вариации действия на основании равенств (8.3), (8.4) можно представить в виде (при 8кв==0)
67 = 1 \ 6Vr}A fyAtK + bxI. (11.25)
С У* Si1
VlSc
где
б/=іл_а^=іл я д\Г^А 1ЯЯ
~ V * э(д&А) +0аР* д(дадфл)’
а функционал 8x1 определен соотношениями (8.4), (8.6). Для вариаций б*^ справедливы выражения (11.16) (если в них над |л поставить черту), а из тождеств (10.36) вытекает равенство
6]/^л _ п 6|И0
Поэтому имеет место следующее соотношение:
«?^6^ = _«?=гл^6|«. (11.26)
Кроме того, используя выражение (11.21) для вариаций 6°Ла, тождество даЬ Y—8 Л/6Ла = 0, доказанное в предыдущем параграфе, и формулу Остроградского —Гаусса
140 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ (ГЛ. 4
(1.45), легко убедиться в справедливости равенства
7 і =
v/ic
= I S (п-27)
v)±c
в котором
dV + 2±- S а
Учитывая соотношения (11.26) и (11.27), выражение (11.25) для вариации действия 6°/, отвечающее вариациям определяющих параметров 6°|хл (при равных нулю вариациях 60Xfi), легко представить в виде
вл/-4 I Si1**! +
V Hc
+ ЬУ + ЬУА. (11.28)
Вычислим теперь вариацию б°/ вторым способом. Учитывая выражение (7.13) для б V~g> представим вариацию действия в виде
б/=| Jf SCKzr^AJd4E-
тс
= j f (V^g 6Л + Л да V=rS I* Ьх*) d% (11.29)
V Hc
Заметим, что для любого фиксированного набора функций Iiy4(Iv), кв (Sy) лагранжиан Л можно рассматривать как функцию от координат Sy
Л (^(Sy), даііА (SY), da<5p^(SY), квт = A(SY).
Так как лагранжиан по определению представляет собой скалярную функцию от своих аргументов, то при переходе от CCK Sa к любой другой CCK S'a выполняется соотношение
A'(S'y) = A(Sy). (11.30)
СОПУТСТВУЮЩЕЕ «ВРЕМЯ»
141
Здесь штрих указывает на то, что вместо CCK Iа используется некоторая другая CCK ?'а. Вариацию лагранжиана 6°Л, отвечающую определенным выше вариациям б0^"4* 8°хв функций (Iyl(Iv), хв(1у), очевидно, можно вычислить непосредственно по общей формуле типа (11.15) как вариацию функции A(|y), обусловленную бесконечно мальш преобразованием сопутствующего «времени» (11.2):
