Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
PT g + Ma + МаАда + FffidJ)р ^-=VaMa. (12.12)
Здесь через рT обозначен коэффициент (типа МА), стоящий при вариации SS в выражении (7.19) для функционала 6W*. На основании общих динамических уравнений для непрерывных процессов (8.29) величина T связана с лагранжианом равенством dA/dS + pT = 0, которое, очевидно, можно записать так: T = — dA/ds. Если—дА/dss = dS/dsy где Ш — плотность внутренней энергии среды, определенная равенством (12.8), то величину T принято называть абсолютной температурой среды1).
Пусть в уравнении неразрывности (3.54) величина к обращается в нуль. Тогда с его помощью уравнение баланса энтропии (6.15) легко представить в следующей форме:
P f +VaSa = а. (12.13)
г) Для выполнения тождества — дЛ(ds~d%/ds необходимо и достаточно, чтобы лагранжиан имел вид A = K- St где К не зависит от s.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
153
Используя это равенство и преобразуя соотношение (12.12), получим
Как будет видно из пятой главы, различные конкретные релятивистские модели сплошных сред можно строить так, что будет выполняться равенство
Тогда из уравнения (12.14), используя определение (11.48) компонент Ma, второе тождество (11.46) и равенство
(12.15), найдем выражение для диссипативной функции
Если величины, заключенные в скобки, и коэффициенты при них рассматривать как обобщенные термодинамические силы или потоки, то, очевидно, равенство (12.16) имеет вид (12.11).
Описанную процедуру приведения соотношения (12.10) к виду (12.11) можно существенно упростить, используя для плотности энтропии параметрическое представление, полученное в § 6. Тогда среди определяющих параметров fїА вместо массовой плотности энтропии 5 будут присутствовать параметры переноса и производства энтропии ф“, ф. Выделяя их из числа р,А (р/-»-ф, ф“, р.А), соотношение (12.10) можно записать в виде
Здесь _через Ф/Vv, ^alVy обозначены коэффициенты (типа Ma), стоящие при вариациях 6ф, 6ф“ в выражении (7.19) для функционала 6Н?*, причем, согласно равенствам (10.36), Фаы“ = 0. Используя общие динамические уравнения для непрерывных процессов (8.29) и параметрическое представление (6.27) для собственной плотно-
Ta + Sa даТ + Ma^- + МаАда + MfdaOfi =
= Va(M“ + 7\Sa). (12.14)
TSa = -Ma.
(12.15)
(12.16)
= VaMa. (12.17)
154
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
сти энтропии, легко установить связь между величиной Ф и лагранжианом Л в случае, когда последний зависит от параметра ф только через собственную плотность энтропии s:
0)___6A=___dA==_aAas==^_ (т=
YiV $ф дф ds дф Y1Y ' '
Подставляя это выражение для Ф в соотношение (12.17) и учитывая параметрические представления (6.29), (6.28) для диссипативной функции о и компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии, получим следующее равенство:
Tc + Ф«5“ + Мл ^ + МаАда + МаЬдадр = VaM“.
Если положить Ma = O, то из него найдем выражение для диссипативной функции о
%oa, aAl \ МА I д d»A\ sfA (я Я
а— т (S ) т [ dx I T \да dx ) T Yad* dx
(12.18)
Рассматривая величины, заключенные в скобки, и коэффициенты перед ними как обобщенные термодинамические силы или потоки, легко видеть, что выражение (12.18) для а имеет вид (12.11). При этом число независимых слагаемых в выражении (12.18) для о то же, что и в выражении (12.16), так как появление в (12.18) дополнительно члена —Фa,Sa/Т компенсируется уменьшением числа независимых величин Мл, M0^ из-за наличия условия Ma = O.
В следующей главе будет показано, что действительно можно строить конкретные релятивистские модели сплошных сред, считая Ma = 0, если в качестве определяющих параметров использовать параметры производства и переноса энтропии ф и ф“ (а также другие параметры из (7.1)). При этом и в случае Ma = O выражение для диссипативной функции а, получаемое из соотношения (12.12), содержит слагаемые, пропорциональные компонентам 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sa. Кроме того, слагаемые, пропорциональные вариациям 6фа, входят в выражение для функционала 6W. В результате компоненты Wfx в уравнении энергии (12.7) (или (12.9)) содержат слагаемые —TSa (см. § 13). Таким образом, если
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
155
в качестве определяющих параметров использовать величины ф, фа (а также другие параметры из (7.1)), считая при этом Ma = Ot то члены —TSa входят в уравнение энергии через компоненты Wa. Если же в качестве определяющего параметра использовать собственную плотность энтропии s, не прибегая к параметрическому представлению для нее, то компоненты Wa не содержат слагаемых
— TSa. Последние, однако, все равно присутствуют в уравнении энергии (12.7) (или (12.9)), так как в этом случае Ma = -TSa.
Рассмотрим 4-вектор qy определенный равенствами
q = qv9v, q* = TS\ (12.19)
Так как SvUv = 0, то в собственной ГСК x*v компоненты
4-вектора q имеют вид
q* о = 0, q*k = TS*k. (12.20)
Как известно [9], в нерелятивистской механике сплошной среды компоненты вектора плотности потока тепла q*k связаны с компонентами вектора плотности внутреннего потока энтропии S*k как раз вторым соотношением (12.20). Поэтому 4-вектор q можно рассматривать как релятивистское обобщение вектора плотности потока тепла и называть его 4-вектором плотности потока тепла.
