Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
В результате первое соотношение (12.42) после исключения из него интеграла от величины dQie) с помощью второго соотношения (12.42) можно представить в виде
dT J (-*-DV-^tn+I J (рTdS-Wdx'-
Vlte Vltc
- XvpOp dxv - L J*dAa) V~^gd*l + dW = 0, (12.43)
dW=LdWo+L f a,[(+}JxAv)dx-]V~gd%
v/tc
Используя уравнения Максвелла и антисимметричность компонент H^k9 легко показать, что здесь
O^1L FlivH^+ l7 J^Av) dx-*] =
= - Otx (dAv + A1A dx*)]-Vp (-L я-Р dAa),
и, следовательно,
dW =UdW0- f -LH^dAJpdX].
\ 0p + t±
Учитывая затем определения Л' и L, окончательно получим, что для неполяризующейся и ненамагничиваю-
« 12) ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 163
щейся среды в случае, когда
= 0, т'* = I TS<vu*> - tv\
dW0= [ rjdx%d% rt + t±
соотношение (12.43) сводится к уравнению (12.40), которое, таким образом, является тождестзенным следствием основных термодинамических соотношений (12.42).
Изменение набора определяющих параметров, естественно, отражается на общем виде функционалов 6W*y 6W. Рассмотрим случай, когда в число определяющих параметров наряду с функциями Xv(Iy)t Aa(Iy)1 кв(1а) входят еще параметры электрического тока ^a(Iv) и параметры переноса и производства энтропии cpa(?Y), <p(?Y). Тогда для компонент плотности электрического тока Ja справедливо параметрическое представление (5.14), и в уравнении (12.40) подынтегральное слагаемое, содержащее величины Jay можно тождественно преобразовать следующим образом (используя также равенства (12.35)):
- 4 (J«dAa)V=g = - d (і JaAa V=g) +1 Aad(V^Ja), j Aad{V~gJa) = { Aad(cV=gVy =
= Aad (дууіаЬУ) = Aady (di|/a6?]) = Aa V~g Vv = -[,,(л. ^) + ?
^a = ~ FyaUy-В результате уравнение (12.40) примет ввд
dT J (A'-±JaAa)V=gd*t +
+ IJ (pTdS + ft^- X
P/±c
XglA + V=gd*? +
+ I J [Tfdr-^JVdAa + A.ltfflbdt-O.
"ї + ї± (12.44)
6*
164 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
Преобразуем теперь в этом уравнении подынтегральные члены, содержащие удельную плотность энтропии S = S/P и компоненты 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sx, используя для них параметрические представления (6.27), (6.28) и учитывая уравнение неразрывности (3.55) при х = 0, определение компонент у® и соотношения (12.35):
р TdS — уТ S<lu$>gXvdp dxv =
= T fpd ^-g^L+-? — — SaupgKvX(adP) dxvl =
I PVy с I
= T\-p^ (dVeaacPp + Vlda dcPp + d(p)- 7 s“utJ d?«e] =
= Wdu' Ж + -ЯдАтП**)-К<?-ф$; +
%=-OfiVv+ruaVp).
Здесь были использованы также тождества
dlla
UaU^dgafi = 0, и? dgafi = dua, тд-= «“VaMp,
вытекающие из принятых выше условий I0 = Д, gr00=l.
После указанных преобразований уравнение (12.44) окончательно примет вид
di J \y—gd*t + dW*+dW = 0.
P/Sc
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
165
Здесь
iV'~7 j [Trv+''>d>dX' + ®-lfi+V-%]V~ed‘t-
Vltc
dW==T J [rv- № -і/=lap^a+ (12.45)
dV + І±
Л---*(S, Yap, *«>-TS? V‘e-7'rM»- (12.46)
Заменяя в формулах (12.45) действительные приращения всех величин на их вариации, получим общую структуру функционалов 8W*t 6W для рассматриваемой модели в случае, когда лагранжиан A задается равенством (12.46), в в качестве определяющих параметров выбираются функции Xv(Iv)1 Ax(Iv), i|)a (Iv)1 ф“ (Iv)1 ф (Iv)1 Xb (|°). Усложняя зависимость лагранжиана от этих определяющих параметров, например, путем введения в число аргументов функции Ш величин Zt /а, Say которые выражаются через параметры ^at сра, ф и их производные, можно строить более общие модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. При этом функционал 6W* можно определять соотношением, имеющим ту же структуру, что и первое равенство (12.45), хотя приведенные выше выражения для коэффициентов xPat Фа могут усложняться. При конструировании конкретных моделей выражения для yPat Фа, очевидно, получаются в качестве уравнений Эйлера при вариациях б-ф®, 6фа. Рассматривая модели многокомпонентных сплошных сред, для которых
N NN
^“=2^“ ф=2]фь
1=1 {=1 1=1
в качестве определяющих параметров наряду с функциями Xv(Iv)1 Aa (Iv)1 Xfi(Iv)1 вообще говоря, следует выбирать также функции ф?^), ф, (|v), ^(Iv)1 Xr (Iv)1 обобщая при этом соответствующим образом выражения для функционала 6№* и для аргументов лагранжиана (12.46). Построение замкнутых моделей сплошных сред требует задания допол-
166
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ ГГЛ. 4
нительных законов, связывающих коэффициенты при вариациях в функционале 8W* с определяющими параметрами независимо от вариационного уравнения. Это можно сделать, используя общие положения термодинамики необратимых процессов.
В следующей главе будет рассмотрено применение изложенной выше общей теории к построению конкретных релятивистских моделей сплошных сред.
ГЛАВА 5
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 13. Нелинейно-упругая теплопроводная вязкая среда
Определяющие параметры. Рассмотрим модель сплошной среды, для которой лагранжиан имеет вид
л = — pU (р, Yap, S, Sa, Kr), (13.1)
Здесь р —собственная плотность массы покоя среды; уа$ — компоненты пространственного метрического тензора среды;
