Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(12.32) можно представить в виде
ЗДи* + CV [71VV - (ж + ^4Ahv)] -
- Tv^ - j J* (?? + A Amv) + PT -§ = 0. (12.34)
В § 7 и 11 указывалось, что координата ?° является произвольным параметром точек на мировых линиях
1J В идеально упругой среде по определению отсутствуют химиче-
ские или иные реакции и, следовательно, и=0.
$ 12J ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
сплошной среды и не определяется физическими процессами. Выберем для рассматриваемых действительных процессов в качестве ?° значение интервала А, отсчитываемого вдоль мировых линий сплошной среды от некоторого произвольного фиксированного начального состояния Тогда
?oo=l, — g = у9 и* = х I иа = 6а9 (12.35)
д^А'иУ- = VaA'и® = -jL= да V—gЛ'и® = -tL= ]/ — gA',
V—8 V — gdb
и уравнение (12.34) окончательно запишется таким образом: _* JL Y^Tg A' + Vp — _ — Fc* -^l -
Y — g dS L ^ji J
7 ja^t + ж =0. (12.36)
Рассмотрим в четырехмерной области V совокупность действительных приращений определяющих параметров
5 (?a), *v(?a)> Aa (|а), задаваемых равенствами
dS = §de, dx- = ^-de, dAa = ^de,
в которых de = Const во всей области V. Тогда, умножая уравнение (12.36) на величину (T1Jzr—gdzd%9 интегрируя его по области V/% и используя формулу Остроградского— Гаусса, получим следующее интегральное соотношение для указанных действительных приращений определяющих параметров:
<4 J A'V^d^ +
Vltc
+ I J (рTdS- тЖ -1 JadAa) V~g d*l +
Vltc
+ j J (T'f. dx* -Р«ЫАа) Zpd8C = O. (12.37)
dv + S+
Таким образом, если в качестве лагранжиана Л рассматриваемой модели выбрать функцию Л', определенную
160 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
первым равенством (12.33), то для действительных приращений определяющих параметров S, Xх, Aa функционалы 6W7* и 6W7 будут иметь следующий вид:
dW*=~ J (pTdS-xvdxv-± JadAa)V=gd%
(12.38)
f>/Sc
Ш = Т J (т'ЛйхГ—F°*dAa) d%. дР -\-І±
Учет необратимых процессов теплопроводности и вязкости проще всего провести, заменив компоненты 4-СИЛЫ Tv П0 формуле
Tv = д JiXv^- ~ 9<vuw>), qv = TSv, (12.39)
где Tv*1 — компоненты 4-тензора, удовлетворяющего условиям UvTvii = Uvxllv = O- Подставив выражение (12.39) для Tv в уравнение (12.37) и проинтегрировав слагаемое —xvdxv по частям, получим
d7 S A'K=id^+L j [рTdS +
V/tc V/tc
+ (%** - ‘ TS^и®) gXvdfi dxv-±J“ dAa] V~gd% +
+ { j (rvp dxv - ~ F“P dAa) /p d% = 0, (12.40)
dV + S±
rf. = —c'J+j Tg^s<w+TtF)t
Поэтому для действительных приращений определяющих параметров 5, Xv9 Aa функционалы 6W*9 8W9 учитывающие необратимые процессы теплопроводности и вязкости, можно записать следующим образом (при том же лагранжиане А'):
dW* = j j jpTdS + (tW- j TS<^>)gKvdfidxv -
f>/±c
-±J«dAa]V=gd% (12.41)
dW = ± I [Tfdxv-±F«*dAa)lpdK. дР + ї+
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
161
Заменяя в формулах (12.38) или (12.41) действительные приращения определяющих параметров 5, xv, Aa на их вариации, легко получить представление о структуре соответствующих функционалов 6W* и 6W.
Уравнение (12.40) вытекает также из основных термодинамических соотношений, представляющих собой уравнения баланса энергии и энтропии, которые для системы, состоящей из проводящей, поляризующейся и намагничивающейся среды и электромагнитного поля, на основании результатов работ [9, 12, 13] можно записать в виде (используются принятые выше обозначения):
d J (S + L)\/~=gd4= J J^Ftxv) dx-+
V/їс Pltc
+ dQle) - dxv] V^g d*l + dWQ = 0, (12.42)
$ pTdS = I (dQ^ + dQ’)V^d*i;
V/tc Vlt с
L = FvJP", dQ' = -~ JuFlivdxv + x'Mdx\
Здесь dQ{e) — плотность внешнего притока тепла к среде за время dx = de/c (не включающего джоулево тепло);
— компоненты плотности внешней четырехмерной силы; dQ' — плотность лритока некомпенсированного тепла к среде за время dx = de/c; х^ — тензорные компоненты, характеризующие необратимые процессы вязкости и теплопроводности в среде; dW0- слагаемое, учитывающее энергетические взаимодействия на границе объема V/Sc; !/ — произвольный четырехмерный^ объем, занятый средой и электромагнитным полем; Sc — гиперповерхность разрыва, принадлежащая V. Выражение для dQ' приведено для случая, когда процессы поляризации и намагничивания среды обратимы. Приращения dxv, присутствующие в первом соотношении (12.42) в слагаемых, содержащих компоненты тензора напряженности электромагнитного поля, определены в собственной ГСК соотношением dxv = cu*v dx, причем d[lu*v = 0. Учитывая это обстоятельство, а также антисимметричность компонент Hixk и уравнения Максвелла, которые в принятых выше обозначениях имеют вид
/rUV = ^vh dxH^=-~J»,
6 л. т. Черный
162 СВОЙСТВА вариационного УРАВНЕНИЯ ГГЛ. 4
указанные слагаемые в первом соотношении (12.42) можно переписать следующим образом:
(_L --і JixFtxv) dxv =
= H^dvOtxAk + -LF11AH^) dxV = дх (-L- FiivH^dx-).
Преобразуем еще выражение для dQ'i dQ’ = —L JV-Fixv dxv + xv\ dxv =
= -Jtl (dA„ - dxvdilAv) + rvldk dxv =
= L Ja dAa + x'vxdK dxv — ^ (y JkAv dxv).
Здесь
dA
Aa == XaAvi, dA^i —— dx^dyA^ — ds.