Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 50

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 91 >> Следующая


(12.32) можно представить в виде

ЗДи* + CV [71VV - (ж + ^4Ahv)] -

- Tv^ - j J* (?? + A Amv) + PT -§ = 0. (12.34)

В § 7 и 11 указывалось, что координата ?° является произвольным параметром точек на мировых линиях

1J В идеально упругой среде по определению отсутствуют химиче-

ские или иные реакции и, следовательно, и=0.
$ 12J ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

сплошной среды и не определяется физическими процессами. Выберем для рассматриваемых действительных процессов в качестве ?° значение интервала А, отсчитываемого вдоль мировых линий сплошной среды от некоторого произвольного фиксированного начального состояния Тогда

?oo=l, — g = у9 и* = х I иа = 6а9 (12.35)

д^А'иУ- = VaA'и® = -jL= да V—gЛ'и® = -tL= ]/ — gA',

V—8 V — gdb

и уравнение (12.34) окончательно запишется таким образом: _* JL Y^Tg A' + Vp — _ — Fc* -^l -

Y — g dS L ^ji J

7 ja^t + ж =0. (12.36)

Рассмотрим в четырехмерной области V совокупность действительных приращений определяющих параметров

5 (?a), *v(?a)> Aa (|а), задаваемых равенствами

dS = §de, dx- = ^-de, dAa = ^de,

в которых de = Const во всей области V. Тогда, умножая уравнение (12.36) на величину (T1Jzr—gdzd%9 интегрируя его по области V/% и используя формулу Остроградского— Гаусса, получим следующее интегральное соотношение для указанных действительных приращений определяющих параметров:

<4 J A'V^d^ +

Vltc

+ I J (рTdS- тЖ -1 JadAa) V~g d*l +

Vltc

+ j J (T'f. dx* -Р«ЫАа) Zpd8C = O. (12.37)

dv + S+

Таким образом, если в качестве лагранжиана Л рассматриваемой модели выбрать функцию Л', определенную
160 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4

первым равенством (12.33), то для действительных приращений определяющих параметров S, Xх, Aa функционалы 6W7* и 6W7 будут иметь следующий вид:

dW*=~ J (pTdS-xvdxv-± JadAa)V=gd%

(12.38)

f>/Sc

Ш = Т J (т'ЛйхГ—F°*dAa) d%. дР -\-І±

Учет необратимых процессов теплопроводности и вязкости проще всего провести, заменив компоненты 4-СИЛЫ Tv П0 формуле

Tv = д JiXv^- ~ 9<vuw>), qv = TSv, (12.39)

где Tv*1 — компоненты 4-тензора, удовлетворяющего условиям UvTvii = Uvxllv = O- Подставив выражение (12.39) для Tv в уравнение (12.37) и проинтегрировав слагаемое —xvdxv по частям, получим

d7 S A'K=id^+L j [рTdS +

V/tc V/tc

+ (%** - ‘ TS^и®) gXvdfi dxv-±J“ dAa] V~gd% +

+ { j (rvp dxv - ~ F“P dAa) /p d% = 0, (12.40)

dV + S±

rf. = —c'J+j Tg^s<w+TtF)t

Поэтому для действительных приращений определяющих параметров 5, Xv9 Aa функционалы 6W*9 8W9 учитывающие необратимые процессы теплопроводности и вязкости, можно записать следующим образом (при том же лагранжиане А'):

dW* = j j jpTdS + (tW- j TS<^>)gKvdfidxv -

f>/±c

-±J«dAa]V=gd% (12.41)

dW = ± I [Tfdxv-±F«*dAa)lpdK. дР + ї+
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

161

Заменяя в формулах (12.38) или (12.41) действительные приращения определяющих параметров 5, xv, Aa на их вариации, легко получить представление о структуре соответствующих функционалов 6W* и 6W.

Уравнение (12.40) вытекает также из основных термодинамических соотношений, представляющих собой уравнения баланса энергии и энтропии, которые для системы, состоящей из проводящей, поляризующейся и намагничивающейся среды и электромагнитного поля, на основании результатов работ [9, 12, 13] можно записать в виде (используются принятые выше обозначения):

d J (S + L)\/~=gd4= J J^Ftxv) dx-+

V/їс Pltc

+ dQle) - dxv] V^g d*l + dWQ = 0, (12.42)

$ pTdS = I (dQ^ + dQ’)V^d*i;

V/tc Vlt с

L = FvJP", dQ' = -~ JuFlivdxv + x'Mdx\

Здесь dQ{e) — плотность внешнего притока тепла к среде за время dx = de/c (не включающего джоулево тепло);

— компоненты плотности внешней четырехмерной силы; dQ' — плотность лритока некомпенсированного тепла к среде за время dx = de/c; х^ — тензорные компоненты, характеризующие необратимые процессы вязкости и теплопроводности в среде; dW0- слагаемое, учитывающее энергетические взаимодействия на границе объема V/Sc; !/ — произвольный четырехмерный^ объем, занятый средой и электромагнитным полем; Sc — гиперповерхность разрыва, принадлежащая V. Выражение для dQ' приведено для случая, когда процессы поляризации и намагничивания среды обратимы. Приращения dxv, присутствующие в первом соотношении (12.42) в слагаемых, содержащих компоненты тензора напряженности электромагнитного поля, определены в собственной ГСК соотношением dxv = cu*v dx, причем d[lu*v = 0. Учитывая это обстоятельство, а также антисимметричность компонент Hixk и уравнения Максвелла, которые в принятых выше обозначениях имеют вид

/rUV = ^vh dxH^=-~J»,

6 л. т. Черный
162 СВОЙСТВА вариационного УРАВНЕНИЯ ГГЛ. 4

указанные слагаемые в первом соотношении (12.42) можно переписать следующим образом:

(_L --і JixFtxv) dxv =

= H^dvOtxAk + -LF11AH^) dxV = дх (-L- FiivH^dx-).

Преобразуем еще выражение для dQ'i dQ’ = —L JV-Fixv dxv + xv\ dxv =

= -Jtl (dA„ - dxvdilAv) + rvldk dxv =

= L Ja dAa + x'vxdK dxv — ^ (y JkAv dxv).

Здесь

dA

Aa == XaAvi, dA^i —— dx^dyA^ — ds.
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed