Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 52

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 91 >> Следующая


S- удельная плотность энтропии среды; s —собственная плотность энтропии среды; Sa — компоненты 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии среды; кв — известные неварьируемые функции лагранжевых координат ?а, обладающие сформулированными в § И свойствами. Параметры р, 7ар, Sy Sa были определены во второй главе. Среди параметров кв могут присутствовать, например, компоненты пространственного метрического тензора среды в недеформированном состоянии Yap, компоненты тензоров, задающих анизотропные свойства среды в ССК, а также различные физические постоянные. Включение в число аргументов лагранжиана А компонент Sa обусловлено следующим обстоятельством. В нерелятивистской механике плотность энтропии является скаляром и не зависит от ГСК наблюдателя [п. В релятивистской же механике она представляет собой нулевую компоненту 4-вектора C-1Sv. В этом случае естественным обобщением скалярной плотности энтропии нерелятивистской механики является значение плотности энтропии C-1S*0 в ГСК наблюдателя, относительно которой рассматриваемая частица сплошной среды в рассматриваемый момент времени находится в состоянии покоя. Однако релятивистское обобщение последнего неоднозначно [2, 3] Можно считать, что частица сплошной среды покоится относительно ГСК наблюдателя, если в ней обращаются в нуль компоненты трехмерного вектора плотности потока массы покоя среды: фи* = 0. Ho можно также считать, что частица сплошной среды покоится отно-
168 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5

сительно ГСК наблюдателя, если в ней обращаются в нуль компоненты трехмерного вектора плотности импульса среды: (T1Tko = O. Как известно [3], при q = TS=? О, указанные* трехмерные векторы в одной и той же ГСК наблюдателя сразу в нуль не обращаются, и, следовательно, релятивистское обобщение понятия покоя неоднозначно. Согласно первому способу определения ГСК наблюдателя, относительно которой частица сплошной среды покоится, имеем c_1s*° = s, а согласно второму способу величина Cr1S*0 должна зависеть также от S. Поэтому и лагранжиан, вообще говоря, должен содержать среди аргументов наряду с величиной s компоненты Sa.

Собственная плотность массы покоя р удовлетворяет уравнению баланса (3.5). Ограничимся здесь и в § 14 и 15 случаем, когда при взаимодействиях микроскопических частиц, образующих рассматриваемую среду, сумму их масс покоя можно считать сохраняющейся величиной. Указанный случай всегда имеет место, если между микроскопическими частицами не происходит реакций. При этом в уравнении (3.5) надо положить к = 0, после чего оно принимает вид

VaCpua = 0. (13.2)

В конце § 3 было показано, что уравнение баланса массы покоя сплошной среды (3.5) эквивалентно соотношению (3.55). Положив в нем х = 0, получим соотношение

^pVrT=O (Y = IYaftI), (13.3)

эквивалентное уравнению неразрывности (13.2). Из равенства (13.3) следует, что

р Vy =Hie)- (13.4)

Функция f(la) постоянна вдоль мировых линий сплошной среды и может считаться заданной на основании начальных условий [4—7]. Поэтому она относится к числу неварьируемых параметров квії )1)-

1J В этом случае аргументы р и уа$ в выражении (13.1) для А не являются независимыми. Величина р выделена среди аргументов А, чтобы в дальнейших соотношениях упростить переход к частному случаю, когда А зависит от Ya^ только через р. Такая зависимость имеет место, например, для газа (при dA/dSa = 0).
УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА

169

Так как лагранжиан является скаляром, то функция U в выражении (13.1) для А должна зависеть от указанных аргументов только через их комбинации, которые остаются инвариантными при изменении CCK Iа (от выбора ГСК Xv аргументы функции U вообще не зависят). Построение таких инвариантов облегчается, если заметить, что при произвольных преобразованиях CCK Iа

величины yaby Say а также компоненты параметров кв, отвечающие значениям тензорных индексов 1, 2, 3 (например, уаь)> ведут себя как компоненты соответствующих трехмерных тензоров. Величины же Yoa» YaO и ковариант-ные компоненты параметров кв, один из тензорных индексов которых принимает значение 0 (например, у0ос, уа0), тождественно равны нулю. Так, для изотропной среды в число аргументов функции U наряду с величинами р,

S и скалярными параметрами кв войдут еще трехмерные инварианты, которые можно построить, например, из компонент

Напомним некоторые свойства аргументов лагранжиана (13.1). Компоненты Yap (и, следовательно, определитель у) выражаются при помощи полученных в § 3 формул через производные dxv/dlaz=E Xv от независимых функций Xv(Ia). Параметры s, Sa должны удовлетворять уравнению баланса энтропии (6.15). Для них справедливы полученные в § 6 параметрические представления через функции cpa(|Y), <p(?Y), связанные между собой простым соотношением

Поэтому в качестве определяющих параметров \iA удобно выбрать функции

Вычислим вариации аргументов лагранжиана (13.1), используя полученные во второй главе выражения этих аргументов через функции (13.6) и их производные, а также формулы (7.10)-(7.15) и перестановочность операций 8
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed