Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ыафа = 0.
(13.5)
Xv (Iv), <Pa(iv), <p(Sv).
(13.6)
и да.
170 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. б
1. Вариации компонент пространственного метрического тензора среды в CCK.
^Yafi — ^ (Цаи$ gafi) ~
= и(гх (и<л<Щ — мв>іАл) V6Sxy — V<a6xB> =
= VaSfv6Sxy — ViaU6yUfiV6Sxy = — Va6V^V6Sxv.
Здесь и далее Sxy^giivXySxv. Вычислим еще вариации смешанных компонент у§:
бур = б (иащ — бр) = (Sua) Up + ua6up =
= — UaU6Uv (V6Sjcy) up + иа (u^ty — UfiU6Uy) V6Sxy =
= — UaUv YpV6Sxv — UaU6YfiV6Sxv = — UaU^yjiyV6Sxv. Окончательно получим
6Yap - - гЫ%6ху, Svp = - uau<vYe>V66xv. (13.7)
2. Вариация собственной плотности массы покоя среды. Используя соотношения ду/дуаЬ = YYfto1 Yo = 0. найдем сначала вариацию величины Vy =V I Vaftl*
б Vy = Z-jW Sya/) = -?i Y6a6Yaft =
2 К V ^Yoft ?
= — у VaY Y6oYaeYi>v66xv = -Ky YpaY^Ypv6Sxv =
= — Vy YapVp6xa.
Теперь на основании равенства (13.4) имеем
бр = б= — ^fiVrY = ^ Vy Y“pVp6xa = PYapVp6xa.
Таким образом,
б Vy = - Vy YapVp6xa, бр - PVapV3Sxa. (13.8)
Используя формулы (7.13) и (13.8), найдем еще вариацию произведения р V—R-
б (р V—g) = (PYapVpexa) Vz^g + P (V^g ^pVpSxa) =
= puaup V — g Vp6xa.
3. Вариация собственной плотности энтропии среды. Учитывая параметрическое представление (6.27) для соб-
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
ственной плотности энтропии среды S9 а также выражения
(13.7), (13.8) для вариаций бур, б)/?, получим
6s = б (т> рдафР + ф) I =
=syr^6 (w)+w6тЯфР+w ЛбфРбф “
= SYapVaSxp - у= у$иа (а„фР) V6Sxy —
- -р=- у%да (т?бф^) + у=-бф = SYapVaSxp +
+ L „<б Sv>Ve6xY _ YgVa (Yp ^) + 7^ б(Р-
Здесь были использованы соотношения
- -7 S’, р=- yX69P = -JT^- VB^a (б? - ы<4) S<PV =
= - -^yRy>Pv = - Y|Va(Y^). (13.9)
вытекающие из равенств «“da = d/dA = r^d/dx, Yjf-M6 = O и параметрических представлений (6.28) для компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии среды Sy. Последнее равенство в (13.9) доказывается при помощи преобразования, совпадающего с проведенным при выводе формулы (4.40) преобразованием выражения (l/Kvheda'I’P. если в нем заменить г|э? на уРбфт- Переход от величин 6фр к величинам Yp^v под знаком производной в (13.9) вызван тем обстоятельством, что в указанном преобразовании, проведенном при выводе формулы (4.40), существенно использовалось равенство Mpiff = 0. Аналогичное равенство, вообще говоря, несправедливо для вариаций 6фр («рбфр ф 0), но оно всегда справедливо для компонент уа<5фа (UpYafrpa = O)- Таким образом, для вариации Ss имеет место формула
6s = (V + і J VaSxp - YpVa {у* + (13.10)
172 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Используя выражение (13.8) для 6р, найдем еще вариацию удельной плотности энтропии среды S = s/р:
85 = j 8s - s j YapvPSxa =
-(13">
4. Вариации компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии среды Sy. Учитывая параметрические представления (6.28) для компонент Sy, определение собственного времени и выражения (7.13), (13.7) для вариаций 6 V—g* найдем
= _ (syv + U*S%Y>) V6Sxy - суру
У у
Здесь были использованы тождества
viva-v=i.
последнее из которых доказывается при помощи преобразования, совпадающего с проведенным при выводе фор-
мулы (4.39) преобразованием компонент If9 если в нем заменить ^ на 6срр. Таким образом, для вариаций 6Sa справедлива формула
85“ = — Ig6ySa + 5<«u*>ua) V6Sxy - CYpVv (13.12)
Напомним, что везде
S*a = gw*?8xv, 8x4 = Sxa = Il Sx\ (13.13)
Вариационное уравнение. Действие /, соответствующее лагранжиану (13.1), определяется по общей формуле
/ = J f AV~gd% (13.14)
v)±c
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 173
Однако выбор действия еще не фиксирует модель сплошной среды, так как необратимые процессы описываются неголономным функционалом 8W*. Зададим его следующим образом:
Ш* = Т J (r ^+ ф« ^+ 6?) (13-15)
Viic
Последнее слагаемое в подынтегральном выражении в (13.15) можно преобразовать так:
TotpVp Ьха = TjiTdv 8л^ = Тц?др Sxli.
Поэтому выражение (13.15) является частным случаем общего выражения (7.19) для функционала 80?*.
На коэффициенты при вариациях в соотношении (13.15) наложим дополнительные условия
(DaUa = 0, TapUa = TCpUv = O, TtapI = 0, (13.16)
имеющие следующий смысл.
Первое соотношение (13.16) является частным случаем общих условий (10.36), которые, как было показано в § 10, можно наложить на коэффициенты при вариациях определяющих параметров типа \кА *) в выражении для функционала 6№*. Отметим, что условие Фаиа = 0 не является ограничением на вид функционала 6W*. В самом деле, если оно не выполняется, то на основании соотношения
(13.22) (см. ниже) имеем
6cpY = — ї?Фа 6<PY — ttY®vcp<attP>Vp 6*a.
Следовательно, переопределяя компоненты таР, всегда можно добиться, чтобы коэффициент при вариациях 6cpY в выражении для функционала 6W* был ортогонален 4-скорости, так как иуууФа = 0. В общем случае для произвольных определяющих параметров (Ia1 ортогональных 4-скорости, аналогичное преобразование функционала 8№* обсуждалось в § 10 при выводе равенств (10.36).