Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 54

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 91 >> Следующая


1) Напомним, что через (jt в § 10 были обозначены определяющие параметры, которые по всем входящим в состав мультииндекса А тензорным индексам, относящимся к ССК, должны быть ортогональны 4-скорости сплошной среды. Очевидно, параметры переноса энтропии фа принадлежат к числу \\А, так как ^ua = Q.
174 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД |ГЛ 5

Второе соотношение (13.16) является частным случаем условия (11.52), которое, как отмечалось в конце § 12, можно наложить на коэффициенты при вариациях определяющих параметров в выражении для функционала 8W*, если среди них используются параметры переноса и производства энтропии фа, ф

Последнее соотношение из (13.16) является необходимым и достаточным условием обращения в нуль суммы

8е/ + 8е№*=0 (13.17)

при значениях вариаций определяющих параметров, соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре ГСК наблюдателя

6еФа = 68ф = 0, 8ех^ = + e*\ = — ev^, (13? 18)

так как в силу скалярности действия 68/ = 0. Равенство

(13.17) при вариациях (13.18) вытекает из однородности и изотропности пространства событий (при отсутствии внешних воздействий на среду). Этот вопрос подробно обсуждался в § 10 при изучении динамических характеристик, связанных с однородностью и изотропностью пространства событий.

Исходное вариационное уравнение имеет вид

6/ + 6Г* + 8Г = 0, (13.19)

где действие I и функционал 8W* определены равенствами (13.14), (13.1) и (13.15). Все вариации в уравнении (13.19), очевидно, выражаются через вариации определяющих параметров (13.6)

8*\ 6фа, 6ф (13.20)

и производные от них. Система вариаций (13.20) не является независимой, так как функции фа(5*) должны удовлетворять условию (13.5), из которого вытекает соотношение

6(Ф<Х) = 0. (13.21)

Вычисление вариации с учетом выражения (7.15) для 8иа и соотношения (раиа = 0 дает

6 (VaUa) = 8фа + <p<aufi>Va бдср = 0. (13.22)
§ 131 УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА

175

Учитывая связь (13.5) методом неопределенных множителей Лагранжа (Х(ф)), прибавим к левой части вариационного уравнения (13.19) функционал

6RW = 7 S b(4,)8(rua)V=gd*t, (13.23)

0/ic

равный нулю для вариаций определяющих параметров, удовлетворяющих соотношению (13.22). В результате вариационное уравнение (13.19) примет вид

8l + bW* + 8W + 8Rw) = 0. (13.24)

Динамические уравнения для непрерывных процессов (уравнения Эйлера). Вычислим вариацию действия 6/, используя полученные выше формулы для б(р |/—g), 6р, 6vap. 6S, бSa:

б/=4 J 6(-pU=

VZic

= If [- иь (р v^) - р V=R Sf/] =

Vlic

= 7 j {— PUUaUPVfi Ьха - P2 Щ VagVp 6ха -

Vlic

_^r±u«xsp>v a* -t»v (у* ^ + -^=1 + as[c р “ pI vKyJ Kvl

+p^vWvp К+f>m Kps6+5<“ыР>«в) vP +

+c^vI.

Собирая слагаемые с одинаковыми вариациями и интегрируя по частям с помощью формулы Остроградского —
176 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5

Гаусса (1.46), окончательно получим

«'-4 J {tv*] - [л (vS Is)+

Pfie

+“л.(*&)1?-йй>»'=г«+

+I І {-'“ьь+ЩііїЩ+

av> + f±

+ <13'25)

S pt/u“up + P2 ~ Yap - P Yfyf +

+ ±Ш U«*SP> - р (g“p5e + S<“uf»ue). (13.26)

с as oS

Функционалы 6№* и 6/?(ф), очевидно, можно предста-, вить в виде

6W7*=7 J {- [vPrap] б*« + 0V ^ + Г ^+

Vlic

+ 1 J (TaPfixa) IfidX, д$ + і±

^(?) = 7 j {— [ур^(ф)Ф(“мР>] 6ха+Х(ф)Иу 6qA}l^i d4E4-VlK

+ Y J (Х(ф)Ф<“ыЗ>6ха)/р#е. (13.27)

dV + i±

Подставляя выражения (13.25), (13.27) для б/, 8№*, 6Rw в вариационное уравнение (13.24), найдем систему уравнений Эйлера1)—динамических уравнений для непре-

1J Рассматривая вместо вариаций 6jcv вариации ^jcvis

которые также являются независимыми.
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 177

рывных процессов, а также функционал 6W:

Vp (Р“р — т“р — А,(ф)ф<аыР>) = 0, g = 7\

І)+“"''і, (ї?,р - ®v]=w,.

61Г = -1 J {(РаР-т“Р->.(ф)ф<“и»>)бха-

dV 4- 2±

_ sI уу S _ с *L т» ,,

QS “ 7 Vv dS6 V Kv 1

Умножая уравнения Эйлера, соответствующие вариациям бф’у, на иУ, и учитывая равенства

«Х) = 0> “VuPV[p(tV") = 0* иУфу= °’ (1328)

найдем, что множитель Лагранжа Aw тождественно равен нулю (в полном соответствии с общим равенством (10.38)). Опуская в уравнениях Эйлера и функционале бйР слагаемые, содержащие Х.((Р), и используя тождества

(vB—W VpV — — — UPV„U

Vvvp\Va dS) dS р(13.29)

VSV? = —V?. Yp 6<PV = UvUtp 6<PV|.

получим следующие динамические уравнения и выражение для функционала б№:

VpTap = O, Tap = Pap- т“р, % = (13.30)

-WtT- WV,+“%(тV51P |?) -®,: (13.31)

б W

=4 f {Tap6xa + Tv^^}Zpd*?,

а<? + і± V (13.32)

в dU

Ту = Тиу-сруу—.

Первое уравнение (13.30) с учетом второго равенства

(13.30) представляет собой уравнение движения рассматриваемой среды. Ниже будет показано, что оно совпадает с уравнением энергии-импульса, вытекающим из теоремы Нётер, причем компоненты Tap являются компонентами тензора энергии-импульса среды. Третье равенство (13.30)
178

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД

ГГЛ. 9

можно рассматривать как определение обобщенной абсолютной температуры Т. Уравнение (13.31) служит для определения компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sa (или 4-вектора плотности потока тепла Qrx = TSa) и вместе с уравнением баланса энтропии (6.15) описывает процесс переноса и производства энтропии. Замыкающие систему уравнений (13.30), (13.31) законы, которые можно использовать для определения величин таР, Фу, рассмотрены ниже в настоящем параграфе. При этом оказывается, что уравнение (13.31) после подстановки в него выражения для Qy можно рассматривать как релятивистское обобщение закона теплопроводности Фурье (в отсутствие перекрестных эффектов).
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed