Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
1) Напомним, что через (jt в § 10 были обозначены определяющие параметры, которые по всем входящим в состав мультииндекса А тензорным индексам, относящимся к ССК, должны быть ортогональны 4-скорости сплошной среды. Очевидно, параметры переноса энтропии фа принадлежат к числу \\А, так как ^ua = Q.
174 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД |ГЛ 5
Второе соотношение (13.16) является частным случаем условия (11.52), которое, как отмечалось в конце § 12, можно наложить на коэффициенты при вариациях определяющих параметров в выражении для функционала 8W*, если среди них используются параметры переноса и производства энтропии фа, ф
Последнее соотношение из (13.16) является необходимым и достаточным условием обращения в нуль суммы
8е/ + 8е№*=0 (13.17)
при значениях вариаций определяющих параметров, соответствующих бесконечно малому преобразованию Пуанкаре ГСК наблюдателя
6еФа = 68ф = 0, 8ех^ = + e*\ = — ev^, (13? 18)
так как в силу скалярности действия 68/ = 0. Равенство
(13.17) при вариациях (13.18) вытекает из однородности и изотропности пространства событий (при отсутствии внешних воздействий на среду). Этот вопрос подробно обсуждался в § 10 при изучении динамических характеристик, связанных с однородностью и изотропностью пространства событий.
Исходное вариационное уравнение имеет вид
6/ + 6Г* + 8Г = 0, (13.19)
где действие I и функционал 8W* определены равенствами (13.14), (13.1) и (13.15). Все вариации в уравнении (13.19), очевидно, выражаются через вариации определяющих параметров (13.6)
8*\ 6фа, 6ф (13.20)
и производные от них. Система вариаций (13.20) не является независимой, так как функции фа(5*) должны удовлетворять условию (13.5), из которого вытекает соотношение
6(Ф<Х) = 0. (13.21)
Вычисление вариации с учетом выражения (7.15) для 8иа и соотношения (раиа = 0 дает
6 (VaUa) = 8фа + <p<aufi>Va бдср = 0. (13.22)
§ 131 УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
175
Учитывая связь (13.5) методом неопределенных множителей Лагранжа (Х(ф)), прибавим к левой части вариационного уравнения (13.19) функционал
6RW = 7 S b(4,)8(rua)V=gd*t, (13.23)
0/ic
равный нулю для вариаций определяющих параметров, удовлетворяющих соотношению (13.22). В результате вариационное уравнение (13.19) примет вид
8l + bW* + 8W + 8Rw) = 0. (13.24)
Динамические уравнения для непрерывных процессов (уравнения Эйлера). Вычислим вариацию действия 6/, используя полученные выше формулы для б(р |/—g), 6р, 6vap. 6S, бSa:
б/=4 J 6(-pU=
VZic
= If [- иь (р v^) - р V=R Sf/] =
Vlic
= 7 j {— PUUaUPVfi Ьха - P2 Щ VagVp 6ха -
Vlic
_^r±u«xsp>v a* -t»v (у* ^ + -^=1 + as[c р “ pI vKyJ Kvl
+p^vWvp К+f>m Kps6+5<“ыР>«в) vP +
+c^vI.
Собирая слагаемые с одинаковыми вариациями и интегрируя по частям с помощью формулы Остроградского —
176 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Гаусса (1.46), окончательно получим
«'-4 J {tv*] - [л (vS Is)+
Pfie
+“л.(*&)1?-йй>»'=г«+
+I І {-'“ьь+ЩііїЩ+
av> + f±
+ <13'25)
S pt/u“up + P2 ~ Yap - P Yfyf +
+ ±Ш U«*SP> - р (g“p5e + S<“uf»ue). (13.26)
с as oS
Функционалы 6№* и 6/?(ф), очевидно, можно предста-, вить в виде
6W7*=7 J {- [vPrap] б*« + 0V ^ + Г ^+
Vlic
+ 1 J (TaPfixa) IfidX, д$ + і±
^(?) = 7 j {— [ур^(ф)Ф(“мР>] 6ха+Х(ф)Иу 6qA}l^i d4E4-VlK
+ Y J (Х(ф)Ф<“ыЗ>6ха)/р#е. (13.27)
dV + i±
Подставляя выражения (13.25), (13.27) для б/, 8№*, 6Rw в вариационное уравнение (13.24), найдем систему уравнений Эйлера1)—динамических уравнений для непре-
1J Рассматривая вместо вариаций 6jcv вариации ^jcvis
которые также являются независимыми.
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 177
рывных процессов, а также функционал 6W:
Vp (Р“р — т“р — А,(ф)ф<аыР>) = 0, g = 7\
І)+“"''і, (ї?,р - ®v]=w,.
61Г = -1 J {(РаР-т“Р->.(ф)ф<“и»>)бха-
dV 4- 2±
_ sI уу S _ с *L т» ,,
QS “ 7 Vv dS6 V Kv 1
Умножая уравнения Эйлера, соответствующие вариациям бф’у, на иУ, и учитывая равенства
«Х) = 0> “VuPV[p(tV") = 0* иУфу= °’ (1328)
найдем, что множитель Лагранжа Aw тождественно равен нулю (в полном соответствии с общим равенством (10.38)). Опуская в уравнениях Эйлера и функционале бйР слагаемые, содержащие Х.((Р), и используя тождества
(vB—W VpV — — — UPV„U
Vvvp\Va dS) dS р(13.29)
VSV? = —V?. Yp 6<PV = UvUtp 6<PV|.
получим следующие динамические уравнения и выражение для функционала б№:
VpTap = O, Tap = Pap- т“р, % = (13.30)
-WtT- WV,+“%(тV51P |?) -®,: (13.31)
б W
=4 f {Tap6xa + Tv^^}Zpd*?,
а<? + і± V (13.32)
в dU
Ту = Тиу-сруу—.
Первое уравнение (13.30) с учетом второго равенства
(13.30) представляет собой уравнение движения рассматриваемой среды. Ниже будет показано, что оно совпадает с уравнением энергии-импульса, вытекающим из теоремы Нётер, причем компоненты Tap являются компонентами тензора энергии-импульса среды. Третье равенство (13.30)
178
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ГГЛ. 9
можно рассматривать как определение обобщенной абсолютной температуры Т. Уравнение (13.31) служит для определения компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sa (или 4-вектора плотности потока тепла Qrx = TSa) и вместе с уравнением баланса энтропии (6.15) описывает процесс переноса и производства энтропии. Замыкающие систему уравнений (13.30), (13.31) законы, которые можно использовать для определения величин таР, Фу, рассмотрены ниже в настоящем параграфе. При этом оказывается, что уравнение (13.31) после подстановки в него выражения для Qy можно рассматривать как релятивистское обобщение закона теплопроводности Фурье (в отсутствие перекрестных эффектов).