Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае для любой t-й компоненты смеси будут справедливы все предыдущие рассуждения из настоящего параграфа и соотношения типа (6.1)-(6.17), за исключением неравенства (6.18), которое выполняется только для смеси в целом. В частности, для любой і-й компоненты смеси определены параметры: Si- 4-вектор плотности потока энтропии і-й компоненты; Si — собственная плотность энтропии і-іл компоненты; Si- 4-вектор плотности внутреннего потока энтропии і-й компоненты; Oi — локальная скорость изменения энтропии і-й компоненты. Эти параметры удовлетворяют равенствам
Учитывая предположение о независимости систем частиц различных сортов в физически бесконечно малых областях о (x) = v3(x) Xtx (х)у легко получить следующие соотношения:
Si = CSiU+ Sit Si = -(SiU)y (SiU) = O9 (6.19)
VaS? = Gl9 Va [CSiUa + Sf) = Oiy (6.20)
5 ^vdsS= J aIdix-
V
г (?) =П Г' (из),
І= 1
N N
N
(6.21)
S (V3) = А: In Г (у3) = 2 k InTj (V3) = ? Si (t>3);
N
N
(6.22)
§ 6] ПЕРЕНОС И ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ 79
где Г j (U3) и Si (V3) — соответственно статистический вес и энтропия рассматриваемого макроскопического состояния системы частиц і-го сорта, находящихся в физически бесконечно малом объеме v3; s® — плотность энтропии і-й компоненты смеси относительно используемой ГСК. Учитывая также определение компонент трехмерных и четырехмерных векторов плотности потока энтропии смеси Skt Sv и плотности потока энтропии ее компонент s*, Svi9 легко установить, что
= Sv =2 Sj. (6.23)
І= 1 {=1
Тогда из уравнений (6.8), (6.11), (6.19) и (6.20) на основании соотношений (6.22), (6.23) вытекают равенства
« = j>, S=^lSh O=^1O1. (6.24)
1 = I f=l і= I
Отметим, что при каждом значении і величина Oi представляет собой локальную скорость изменения энтропии і-й компоненты смеси как за счет внутренних для нее процессов, так и в результате локального взаимодействия с другими компонентами смеси. Поэтому для величин Oi не обязано выполняться неравенство типа (6.18). Однако в полном соответствии с определением диссипативной функции о (для смеси в целом) равная ей на основании
N
последнего соотношения (6.24) сумма 2 Oi представляет
1 = 1
собой локальную скорость изменения энтропии смеси только за счет внутренних процессов, так как процессы взаимодействия между компонентами смеси являются внутренними для смеси в целом. Поэтому на основании закона возрастания энтропии должно выполняться неравенство
N
2 Oi^O. (6.25)
!= 1
Параметрические представления. Уравнение баланса числа частиц і-го сорта (4.24) при замене функций nit If, Vi на s, Sa, пі
щ ->-s, If-*- Sa, Vi-^a (6.26)
80
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
{ГЛ. 2
переходит в уравнение баланса энтропии (6.15). Поэтому для собственной плотности энтропии s, для компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sa, для локальной скорости изменения энтропии а и для компонент 4-вектора плотности потока энтропии Sa, очевидно, имеют место параметрические представления
s = vP'^ф|5+ Щ Ф= YpVa^p + (6-27)
-Sa= -CY^Vv($P«Y-9Y«P). (6-28)
a = Щ S = cVa<pua, (6.29)
s“ = csua + Sa = cvv (<pauv — CpvUa) + сфыа, (6.30) «<хФа = 0, фа = р=фа> ф = Лзф> (6.31)
аналогичные параметрическим представлениям (4.33), (4.38)-(4.41) и получаемые из них путем замены функций (6.26) и переобозначения параметров
(6.32)
Очевидно, что при любых достаточно гладких функциях <Pa(lY)» <P(?Y) величины s, Sa и а, определенные равенствами (6.27)-(6.29), тождественно удовлетворяют уравнению (6.15), а величины о и sa, определенные равенствами (6.29) и (6.30), тождественно удовлетворяют уравнению баланса энтропии в форме VaSa = а.
Выясним физический смысл параметров сра, ср. Для этого рассмотрим состоящую из мировых линий сплошной среды гиперповерхность d!2(c) и трубку мировых линий сплошной среды dV, которые были определены в § 4 при изучении физического смысла параметров диффузии ypf и производства частиц і-го сорта. Обозначим через <іФ(с) полный поток энтропии через гиперповерхность d2(c) в направлении т. е. поток энтропии через вмороженную в среду бесконечно малую двумерную площадку dlad%b (на которой gc = const) в направлении Iе в течение отрезка «времени» от Ц до Пусть также ЙФ —полное производство энтропии внутри трубки мировых линий dV, т. е. производство энтропии в бесконечно малом элементе сплошной среды dl1 d|2 d?3 в течение отрезка «времени» от Il до К*. Тогда на основании уста-
ПЕРЕНОС И ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ
81
навливаемой соотношениями (6.26), (6.32) математической аналогии между процессами диффузии и рождения частиц t-го сорта, с одной стороны, и процессами переноса и производства энтропии—с другой, должны выполняться равенства
ФС (ІІ* ) - Ф" (?* ) = -ЩаЩВ -
d(T) IkD-OOl
ф (5** ) ф (5* ) = dgl dp d?3 •
Отсюда непосредственно вытекает физический смысл приращений параметров <рс, <р при перемещении вдоль мировой линии любой точки сплошной среды.
Все рассуждения настоящего пункта справедливы как в случае однокомпонентной сплошной среды, так и в случае многокомпонентной сплошной среды. Однако если для многокомпонентной сплошной среды выполняется условие статистической независимости компонент (6.21), то все рассуждения настоящего пункта можно дословно повторить для каждой компоненты смеси. В частности, наряду с соотношениями (6.26)-(6.32) будут справедливы также соотношения, получаемые из них добавлением номера компоненты і к величинам s, Sa9 a, Sa, фа, ф, йФ{с\ йФ. Параметрические функции сра, ср и <р“, на основании равенств (6.24) и формул (6 28), (6.29), записанных для смеси в целом и для каждой ее компоненты, связаны между собой соотношениями, которые всегда можно представить в виде
