Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Используя равенства
gapg^ = 6a, + ga|}6gPV = 0,
легко вычислить вариации Sgali:
6g“p = — gavge6Sgy6 = — (Va6xp + VfjSxa) = — V<“6xP>. Окончательно имеем
Sgafi = V/a6xp), 6g«P = - 4<«b)fi\ (7.12)
3. Вариация величины}^—g. Учитывая выражение (7.12) для 6gap и определение (1.15) компонент gaf\ получим
6^^ = -^=/^-6^ =
ZV — gdgafi
= - -f= V<a6xp> = V~g VaSxa.
Используя затем тождество (1.35), окончательно имеем 6 V~g = VaSx- = да iV=g 8х*). (7.13)
*) Здесь и в дальнейшем угловые и квадратные скобки в тензор» ных индексах обозначают соответственно операции симметризации и антисимметризации по индексам, заключенным в указанные скобки. Например, = аа$у -{-сРьау, a^ab^y = аа$у—cfibay.
88
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 3
4. Вариации символов Кристоффеля для CCK ?а. Используя выражение (1.30) для найдем, что
5. Вариации компонент 4-скорости сплошной среды в CCK Iа. Учитывая формулы (3.8) для компонент 4-скорости иа, иа и формулу (7.12) для вариаций 6ga$, легко вычислить вариации 6иа, 6иа\
6Ua = — иаи*иуЧ$6ху, 6иа = (и(^8а — иаи^иу) Vp6xr (7.15)
Вариационное уравнение JI. И. Седова. В качестве основного динамического закона, которому подчиняются все действительные процессы, примем предложенный JI. И. Седовым [2—4, 11, 12] принцип, обобщающий принцип экстремального действия. Последний, как известно, заключается в том, что на некотором множестве возможных процессов физической системы существует скалярный функционал /, называемый действием, который для действительных процессов из этого множества имеет экстремальное значение. Отсюда следует, что вариация действия 6/ на действительных процессах обращается в нуль:
Оказывается, однако, что в такой формулировке принцип экстремального действия не справедлив для действительных необратимых процессов и при наличии внешних воздействий. Кроме того, для учета разрывных процессов и процессов на границах в выражение для функционала I
8? = б (?Я*е) = №д*х1 + ЦдаЬх1 =
= - &д№д*4 + KdeWfofi**) =
= = lUpx^d,8xv = VaVpSxv.
Окончательно получим
Srv3 = VaV3Sxv.
(7.14)
= — у UotUpUvV<p6xv> = — UaUpUvVpSjcy,
6up = б (gf}aua) = SgpaUa + gpa8ua = UaV<a6xP) -
— WvVfi6xY = (u<“Sg> — UpUaUv) VaSxv.
Окончательно получаем
6/ = 0.
(7.16)
§ 7] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Л. И. СЕДОВА
89
необходимо, вообще говоря, включать сингулярную часть, что не всегда удобно. Поэтому Л. И. Седов [2—4, И, 12] предложил принцип, согласно которому на действительных процессах в самом общем случае справедливо вариационное уравнение
6/ + 6№*+6№=0. (7.17)
В этом уравнении / —действие, которое предполагается определенным для любых возможных процессов; 6W* — некоторый задаваемый скалярный функционал от определяющих параметров и их вариаций, учитывающий процессы, для которых не существует голономного вариационного уравнения (7.16); 6W — скалярный функционал от значений определяющих параметров и их вариаций на разрывах и границах, который находится из вариационного уравнения (7 17) Чтобы получить динамические законы, выполняющиеся для действительных процессов на разрывах и границах, необходимо задать функционал 6W дополнительно к уравнению (7.17) Очевидно, что функционалы 6W7*, 6W должны быть линейны по вариациям определяющих параметров. Подчеркнем, что задание функционалов /, 6W*> SW фиксирует рассматриваемую систему и внешние воздействия на нее
Выражения для функционалов /, 8W*. В дальнейшем будем рассматривать только такие модели сплошных сред, для которых действие / и функционал 6W* можно представить в виде1)
/=Л j A/=i#|,A=A(R^aati^,aaa^^, хв), (7.18)
Vltc
6И7* = 1 С 6w*d%
С 9?te (7.19)
бш* = [МА + МаА б (3a(^) + Mf б (ded„|H)] y=~g.
Здесь к# (^a) — известные функции от лагранжевых координат ?a, которые постоянны вдоль мировых линий сплошной среды
дхв/ді* = 0. (7.20)
1J Коэффициент 1/с введен в выражения (7.18), (7.19) в связи с тем, что элемент четырехмерного объема содержит множитель
с\ ]/ — g d*l = d*x = с dt dx1 dx2 dx3. При этом функции Л, 6w*/Y — g
имеют размерность плотности энергии, а функционалы /, 6W* — размерность действия (энергия X время).
90
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
іГ Л. 3
Функции кв(1а) представляют собой различные заданные характеристики сплошной среды или физические постоянные. Среди них могут присутствовать, например, компоненты пространственного метрического тензора уар в не-деформированном состоянии (см. § 4).
Функции (Xy4(^v), X5(Iy) определены в области V0 из пространства переменных ?Y, представляющей собой множество значений сопутствующих координат. Всюду в области V0, за исключением некоторой гиперповерхности t°Ct параметры JAi4 (?Y)> Ия (?Y) предполагаются достаточно гладкими функциями, т. е. имеющими число непрерывных производных, необходимое для справедливости проводимых рассуждений. У различных определяемых параметров это число, конечно, может быть различным. Гиперповерхность tic называется разрывом или скачком. С разных сторон гиперповерхности t°c значения определяющих параметров и их производных, вообще говоря, различны, а на самой гиперповерхности t°c они в этом случае не определены. Поэтому условно можно считать, что гиперповерхность разрыва SJ имеет две стороны, а именно 2+ и SL, геометрически совпадающие с t°c, причем на каждой стороне значения определяющих параметров и их производных определены как предельные значения при подходе к t°c с соответствующей стороны.
