Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что процедура выделения дивергентных частей 62/, 6z№* из функционалов б/, 8№* не определяет однозначно коэффициентов при вариациях бр,л и их производных да б|хл в формулах (8.6), (8.9) для функций 6А“, бw*a, хотя сами функционалы 6s/, 62IF*, конечно, определяются однозначно. Действительно, к правой части равенства (8.2), определяющего функционал 8/, всегда можно прибавить тождественно равный нулю функционал
I = } J (/-fir -0, (8.10)
8Q =
с
VIic
в котором Q^b = — 0?* — любые антисимметричные по
94 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ [ГЛ. 3
индексам а, р дважды дифференцируемые функции от любых аргументов. Например, они могут зависеть от тех же аргументов, что и функция А. В результате к функциям У —g6А“ добавятся, вообще говоря, не равные нулю слагаемые У—g 6Q“:
V=g Ш* - dp (V=g Qf 6|И) =
= (? V-ё&f) + V—g Й“Ч ^a-
И следовательно, коэффициенты при вариациях и их
производных дрбц.'4 в выражении (8.6) для У —g 8Aa изменятся. Аналогичную процедуру, очевидно, можно проделать для функционала 6W* и функций У —gbw*a.
На основании формулы Остроградского —Гаусса (1.45) выражения (8.4), (8.7) для дивергентных частей б2/, b^W* вариации действия и функционала б№* представляются в виде
б2/ =1 С 6Аalad%,
dV + 2+
- (8.11) 6zr*=.y j 8w*alad%.
av + i±
Аналогичным образом можно преобразовать выражение (8.10) для тождественно равного нулю функционала 6Q:
SQ = J- J 6Q alad% =
dV + i±
-I j V~go.t'jбц»+Qa%6^]iad%.
(8.12)
Здесь интегрирование производится по гиперповерхности dV, ограничивающей область V, и по гиперповерхностям S+, 2_, представляющим собой две стороны участка гиперповерхности разрыва S?, принадлежащего области V. Очевидно, гиперповерхность dV + является границей области VIIic. Положение гиперповерхностей dV, 2+, IL в пространстве задается при помощи функций
Iа = Zot(Cft), І a = fl(tk), (8.13)
§ 8] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ 95
определенных в некоторой области пространства переменных Zk (&=1, 2, 3). Через cPZ, в равенствах (8.11),(8.12) обозначено произведение dt,1 dt? dt?. Компоненты Ia вычисляются по формулам (1.38):
Za = -Bapv6Zf1^X, (8.14)
®а(5ув = V §еа Pv8> f(k)=dfa'/dtk,
где eaPV6 — полностью антисимметричные символы Леви-Чивита (<?0123 = — !)•
Система координат Ik на гиперповерхностях dV, ?+, предполагается выбранной так, что для компонент Ia выполняется неравенство (1.47). Фигурирующие в этом неравенстве компоненты определены на гиперповерхностях 2+, ll_ так, что изменение координат точек гиперповерхности S- на величины d%a смещает их в сторону 2+ и, наоборот, изменение координат точек гиперповерхности 2+ на d|a смещает их в сторону
Подчеркнем, что все величины, входящие в подынтегральные выражения в равенствах (8.11), (8.12), в том числе вариации определяющих параметров и компоненты Iat вообще говоря, различны на двух сторонах (2+, ?_) гиперповерхности разрыва Sc.
Связи. Как уже отмечалось выше, на определяющие параметры |i/1 могут быть наложены связи. Например, определяющие параметры (7.1) должны удовлетворять соотношениям (7.7). Эти соотношения носят кинематический характер и, следовательно, должны выполняться также и для возможных процессов. Поэтому равенства (7.7) останутся в силе, если от обеих частей их взять вариацию 6. Вычисляя эти вариации с помощью выражений
(7.15) для бua, быр и учитывая также сами равенства (7.7), получим, например, следующие соотношения:
в = SuJft + Ua 8г|>“ = (ырVa бхр - и6V^Vв Ьху) г|з“ +
+ иа 6г|)? = (г|э“иР + i|>fua) Va б*р + иа 8г] б (UaPia) = — (UaUpUvVp Ьху) Pia + Ua бpia = Ua бPia, причем
Va бхр = XaXlg^dvu Sxk. (8.15)
Аналогично вычисляются вариации левых и правых частей других равенств из (7.7). В результате найдем,
96 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ [ГЛ. 3
что связи (7.7) приводят к следующим соотношениям для вариаций определяющих параметров (7.1):
N
u<a\J)P>Va бх6 + иа = 0, 2 mi 6^ = 0,
і= і
u«*i|)P>Va бхр + иа Sxffc = 0, иа Spa = 0,
иа Sma = O, UaSpia = O, UaSmia = O,
NNN (8.16)
6i|)a= 2 etS^f, бPa= 2 > Sma= 2 Smiat
I— I ?= I і= I
u<a<p3>Va бхр + Ua бф“ = 0, и<а<Р?>Уа Sxp +Ua 6<P? = 0,
N
бф“ = 2 бф?, бф = 2 бфг.
= 1
В общем случае для произвольных определяющих параметров [Iа будем рассматривать связи, задаваемые равенствами
Rb (Vа, даііА) = 0, (8.17)
в которых Rb — достаточно гладкие функции указанных аргументов. Связи (8.17) должны выполняться и для всех возможных процессов. Поэтому вариации левых частей равенств (8.17) также равны нулю. Вычисляя их с учетом перестановочности операций 6 и да, получим следующие соотношения:
^б^ + ^вааб^ = 0, (8.18)
в которых RA = dRB/d[iA, Ra^ = д Rb Idda^ А.
Очевидно, что при надлежащем выборе параметров |хл и функций Rb равенства (8.16) могут быть получены из соотношений (8.18) с учетом формул (8.15) и (8.17).
Для учета связей (8.18) в вариационном уравне-
нии (7.17) используем известный метод неопределенных множителей Лагранжа. Следуя этому методу, умножим равенства (8.18) на неопределенные множители iKb(V), которые, вообще говоря, являются функциями от координат Iу. Просуммируем затем полученные равенства по мультииндексу В и проинтегрируем по области Vltc. В результате получим соотношение, которое можно
