Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Поляризация и намагниченность сплошной среды. Из
определения плотности четырехмерного электрического тока J следует, что последний возникает за счет движения в пространстве и во времени электрически заряженных частиц, входящих в состав многокомпонентной сплошной среды. Если частицы обладают внутренними степенями свободы, то их внутреннее движение также может привести к возникновению в сплошной среде четыре X мер ного электрического тока, который будем называть внутренним. Обозначим его плотность через J(in). Физический смысл компонент J(in) аналогичен физическому смыслу компонент величина J{in)/c является средней плотностью внутреннего электрического заряда, а компоненты /(*„> представляют собой компоненты трехмерного вектора средней плотности внутреннего электрического тока. Плотность полного четырехмерного электрического тока в сплошной среде равна сумме J+J{in)-
Установлено, что компоненты Jfirl) всегда подчиняются интегральному закону сохранения [5, 9—11]
$ ZiWudt- О,
і:
где 2 — любая замкнутая гиперповерхность в пространстве событий; ?* — координаты на ней; Z11 — компоненты ортогонального к 2 вектора, определенного в § 1. Для достаточно гладких функций Jyn) (х) отсюда на основании формулы Остроградского —Гаусса (1.45) и произвольности 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
67
вытекает дифференциальный закон сохранения
= 0.
(5.16)
Очевидно, что 4-вектор плотности внутреннего электрического тока должен выражаться через некоторые независимые параметры, характеризующие среднее внутреннее движение частиц, причем так, чтобы при этом выполнялось уравнение (5.16). Наиболее общее выражение для компонент J$n), удовлетворяющее равенству (5.16), имеет вид
Здесь величины Mixv(X) являются компонентами четырехмерного антисимметричного тензора второго ранга М(2) (х), который определен в занятой сплошной средой области V пространства событий.
Тензор М(2) (х) может быть однозначно связан со средними характеристиками внутреннего движения частиц [5] и носит название 4-тензора поляризации и намагниченности сплошной среды (в рассматриваемой точке х из области V). Для его компонент в ГСК приняты специальные обозначения:
где индекс [і указывает номер строки, а индекс v — номер столбца. Можно доказать, что при переходе к другой ГСК, соответствующей системе отсчета, неподвижной относительно исходной, величины Pk и Mk преобразуются как компоненты трехмерных векторов [1]. Они называются соответственно поляризацией и намагниченностью сплошной среды.
Введем четырехмерные векторы р и т, компоненты которых связаны с компонентами 4-тензора поляризации и намагниченности соотношениями
-L /?я) (х) = dvM^ (X), M^ = — Afv. (5.17)
(5.18)
Pv — mv — 2 (5.19)
68
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
(5.20)
Из них следует, что в ГСК, являющейся собственной для рассматриваемой точки х из области V9 компоненты векторов р и т имеют вид
Pt = MJo = О, Pt = Mtk = Pt, т*=\ гШкМ*'^ = 0,
т% = \ вмыМ*к* = -]- еокрдМ*pi = Mt
Поэтому векторы р и т будем называть 4-векторами поляризации и намагниченности сплошной среды. Они ортогональны 4-скорости сплошной среды
pvuv = РаЦа = 0, mvuv = таиа = 0. (5.21)
Равенства (5.19) можно разрешить относительно компонент Mav. Для этого заметим, что выражение (5.19) для mv можно записать в виде
M1* = Mxk- (икрк — икрк), (5.22)
причем
UkMi =и^Мк*-р* = 0.
(5.23)
Подставим затем в компоненты evax(fmvu0 выражение (5.22) для mv и проведем, учитывая тождества (1.41) и (5.23), следующие преобразования:
^0Тф (у х) иа =
6K
61
Я f Ъм ___________ 1
Ml--------------у
Ч «Тя бф бф
Mhi
= у(бХ-бЖ)м^=мг.
Ha основании этих равенств, а также соотношений (5.22) найдем окончательное выражение для компонент Alliv
Через Компоненты Pv, Шу'-
= U^pv — uvp* + e“v^%mK. (5.24)
Отметим, что в (XK Iа эта формула записывается с помощью компонент (1.27) тензора Леви-Чивита:
УМ“0 = иар$ — и^ра + BaVy6UyiTis, (5.25)
а в ГСК компоненты вРуКк тензора Леви-Чивита совпадают
с полностью антисимметричными четырехмерными симво-
лами Леви-Чивита.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
69
Поляризация и намагниченность многокомпонентной сплошной среды. Повторим для каждой компоненты многокомпонентной сплошной среды рассуждения, на основании которых выше были введены 4-вектор плотности внутреннего электрического тока и 4-тензор поляризации и намагниченности сплошной среды, удовлетворяющие уравнениям (5.16), (5.17). В результате получим N векторов J(in)i и N тензоров второго ранга Mf (/=1, N), которые определены в каждой точке из занятой сплошной средой области V пространства событий. Вектор Jiin) ,• будем называть 4-вектором плотности внутреннего электрического тока і-й компоненты смеси, а тензор Mf — 4-тензором поляризации и намагниченности і-й компоненты смеси. Плотность внутреннего электрического тока смеси Jiin) и 4-тензор поляризации и намагниченности смеси М(2) связаны с величинами J{in)i и Mf простыми соотношениями
Для компонент Mfvy Miliv приняты специальные обозначения, которые получаются из обозначений (5.18) добавлением в них ко всем буквам индекса і Введенные таким образом величины Pikt Mik преобразуются при переходе к любой другой ГСК, соответствующей системе отсчета, неподвижной относительно исходной, как компоненты трехмерных векторов. Они называются поляризацией и намагниченностью і-й компоненты смеси.