Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Скалярная функция Л, называемая лагранжианом, является одной из основных характеристик сплошной среды и должна задаваться на основании физических гипотез и изучения свойств среды. Коэффициенты при вариациях в выражении (7.19) для функции bw* характеризуют необратимость процессов и внешние воздействия. Они зависят от тех же аргументов, что и функция А в (7.18). Эта зависимость во многих случаях может быть конкретизирована при помощи общей теории необратимых процессов Онзагера (когда нет внешних воздействий, см. § 12). Всюду в области V0 лагранжиан Л и коэффициенты МА, Ма, Ма& при вариациях в выражении (7.19) для бw* предполагаются достаточно гладкими функциями своих аргументов.
Интегрирование в выражениях (7.18), (7.19) для функционалов /, бW7* производится по области V/Sc. Здесь через V обозначена любая область, принадлежащая мно-
$ 7] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Л. И. СЕДОВА
жеству значений сопутствующих координат V0t а через Sc- часть гиперповерхности It0ct принадлежащая V. Область V/Sc получается из области V путем исключения значений координат (?°, |3), принадлежащих гипер-
поверхности Sc. Вариация 6 —это вариации при постоянных значениях сопутствующих координат ?Y, которая была определена в настоящем параграфе.
Функции Xv(Ia), задающие при фиксированных Iа мировую линию частицы сплошной среды с лагранжевыми координатами ставят в соответствие каждому набору значений сопутствующих координат ?а точку в пространстве событий Минковского, имеющую относительно выбранной ГСК координаты Xv(Ia) В результате множествам V0t V у dV у Sfc, Sc значений сопутствующих координат соответствуют в пространстве событий четырехмерные области V0y V и гиперповерхности Al/, S°с, Sc. Очевидно, что гиперповерхность dV является границей области Vy которая принадлежит области V0. Гиперповерхность разрыва Sс содержится в этой области, причем условно можно считать, что в пространстве событий гиперповерхность разрыва S°с имеет две стороны SV, соответствующие сторонам IlV гиперповерхности S°с в пространстве переменных ?а. Множество V0 значений ?а образует в области V0 сопутствующую систему координат. Поэтому встречающиеся здесь и ниже интегралы по области V и по гиперповерхности dV + S± можно рассматривать как записанные относительно CCK Ia интегралы по области V и по гиперповерхности dV + S± в пространстве событий. Указанные интегралы можно также записать относительно выбранной ГСК xv. В связи с этим следует помнить, что из определения вариации 6 вытекают соотношения 6К = 0, 6V^=0, 6SC==0, 6SC "=/=¦ 0„
В следующих главах будет показано, что на основе вариационного уравнения (7.17) и выражений (7.18),
(7.19) для I и 6W* можно построить различные релятивистские модели (в том числе и известные), описывающие движение сплошных сред с учетом таких внутренних процессов, как перенос и производство энтропии, электромагнитные процессы или диффузия и реакции в многокомпонентных смесях.
92
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 3
§ 8. Уравнения для непрерывных процессов
Вариация действия. Учитывая очевидное равенство
6 #| = 0, (8.1) вычислим вариацию действия
с Д L дцА г т дда11А т
Wsc
+ <82>
При вычислении фигурирующих в этом соотношении производных от функции У—g А необходимо иметь в виду следующее. He все аргументы функции V—gK вообще говоря, можно считать независимыми, так как на определяющие параметры \iA могут быть наложены связи. Например, если определяющие параметры ЦА представляют собой функции (7.1), то они должны удовлетворять соотношениям (7.7), в кбторых компоненты Ua выражаются через производные от входящих в набор определяющих параметров функций Xv (%а):
Ua = StlVg^xl, иа =
где х? = дх^1д1а, х% = дXtxIdl0.
Поэтому смысл частных производных от функции V—&Л по ее аргументам необходимо уточнить. Для этого рассмотрим в пространстве аргументов функции Y—gA множество orf, которому должны принадлежать значения аргументов Y—&Л, когда определяющие параметры \ьА удовлетворяют наложенным на них связям. Функция Y—g А по своему смыслу определена только на множестве . Продолжим ее достаточно гладко с множества на некоторую его окрестность, в которой приращения всех аргументов Y—g А можно выбирать независимым образом, если считать сами аргументы независимыми. Тогда частные производные от Y—g Л определяются обычным образом, как если бы аргументы Y—g Л были независимы.
Преобразование выражений для функционалов 6/ и 6W*. Используя формулы (7.8) для вариаций производных от определяющих параметров |И и выделяя дивер-
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
93
гентную часть в выражениях (8.2) и (7.19) для вариации действия 6/ и функционала 6W*, запишем их в следующей форме:
6/=6v/ + 62/, 6W* = bvW*+8zW*f (8.3)
ы -4 S
VlZc
ьxi = j I aeK=i6A«rf*6,
(8.4)
«К-gA dV-gA дУ=ЇЛ . а а dV-g Л ,O5V
---Г~А--- ---Т~А-----* аа-----А---Г OaOfi -----J-, (О.Э/
6ц ^ ф дда\1л 55а5р|лл
6Л*=
= (*?Е|л_ a,^3A) »8|И, (8.6)
\ ддац,л > ддад№
(8.7)
^-К-гМдK-^AJSe, (8.8)
Vr—g8ffi)*a=>
= (К=І Af5 - apv^=i м^) в|И -ь/=і Afiffy б^и. (8.9)
