Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Значение параметров s'v, o' должно полностью определяться параметрами Sv, а и величинами, задающими положение новой ГСК' относительно старой ГСК в пространстве событий. Последнее равенство из (6.9) при этом должно быть следствием уравнения (6.8). Это возможно, если а —скаляр (a' = a), а параметры s'v связаны с Sv формулами преобразования контравариантных компонент четырехмерного вектора. Таким образом, величины Sv образуют компоненты четырехмерного вектора s, называемого 4-вектором плотности потока энтропии.
Уравнение баланса энтропии (6.8) можно представить и в интегральной форме. Для этого проинтегрируем обе части равенства (6.8) по четырехмерной области V пространства событий, ограниченной трехмерной гиперповерхностью 2, и используем формулу Остроградского — Гаусса
(1.45), записав ее относительно ГСК xv. В результате получим уравнение
\svlvd%=\od*x. (6.10)
я V4
76 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2
Собственная плотность энтропии и внутренний ПОТОК энтропии. Введем еще собственную плотность энтропии s и 4-вектор плотности внутреннего потока энтропии S9 которые определяются равенствами
s = csu + S9 S=^(S9U). (6.11)
Из них следует, что вектор 5 ортогонален (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий) 4-ско-рости сплошной среды и:
(S1 и) = 0, SvUx = SaUa = O. (6.12)
В ГСК, являющейся собственной для рассматриваемой точки х пространства событий, справедливы соотношения
S(X) = -^s*0, S*0 (Jc) = O1 S*k(x) = s*k(x). (6.13)
Здесь звездочка указывает на то, что соответствующие компоненты векторов берутся относительно собственной для точки X ГСК. Из соотношений (6.13) вытекает физический смысл величины s и компонент Sv. Величина s (х) представляет собой плотность энтропии в точке X относительно собственной для этой точки ГСК. Компоненты Sk (х) в собственной для точки X ГСК совпадают с компонентами трехмерного вектора плотности потока энтропии в точке х, а компонента S0 (х) в собственной для точки х ГСК равна нулю.
Подставляя в уравнение баланса энтропии (6.8) выражение для компонент Sv из первого равенства (6.11), получим уравнение
dv (csuv+ Sv) = G9 (6.14)
которое можно записать также и в CCK Iа:
Va (csua + Sa) = a. (6.15)
Используя тождество (1.35) и равенства (3.8), (3.19), легко представить соотношение (6.15) в виде
щь(csVv) + да(V^Sa) =O Vv VibO- (6.16)
Умножим это равенство на произведение d|°...d?8 и проинтегрируем обе его части по четырехмерной области dV пространства событий, представляющей собой бесконечно тонкую трубку мировых линий сплошной среды, боковая
ПЕРЕНОС И ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ
77
поверхность d2 которой состоит из мировых линий, а торцевые поверхности ортогональны им (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий). Использовав затем формулу Остроградского — Г аусса (1.45), равенства (6.12) и определение собственного времени, получим следующее соотношение:
sVy = I S«lad%+ j (aVy d4)dT. (6.17)
d S Ti
Левая часть этого равенства представляет собой изменение энтропии бесконечно малой частицы сплошной среды, собственный объем которой равен Vyd3l = dv3, в течение промежутка собственного времени от Ti до т2. Первое слагаемое в правой части равенства (6.17) равно полному потоку энтропии через боковую поверхность d2 рассматриваемой трубки мировых линий, т. е. потоку энтропии через двумерную поверхность бесконечно малой частицы сплошной среды (с собственным объемом dvs = Vy d3l) B течение промежутка собственного времени ОТ Tl ДО T2. Второе слагаемое в правой части равенства (6.17) представляет собой изменение энтропии рассматриваемой бесконечно малой частицы сплошной среды за счет внутренних процессов в течение промежутка собственного времени ОТ Tl ДО T2.
Закон возрастания энтропии. Установлено, что в результате одних внутренних процессов энтропия любого тела не может уменьшаться— она или возрастает, или остается постоянной. He существует ни одного исключения из этого правила, называемого законом возрастания энтропии. Математическим выражением этого закона, очевидно, является неравенство
a ^ 0. (6.18)
Локальная скорость роста энтропии а называется также диссипативной функцией. Процессы, для которых о> 0, называют необратимыми, так как обратные им процессы не могут происходить, потому что для них о<0. Обратимыми же процессами называются такие, для которых Q = 0.
Учитывая данное выше определение энтропии, можно сказать, что в результате одних только внутренних процессов система не может перейти из более вероятного
78
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
макроскопического состояния в менее вероятное макроскопическое состояние.
Энтропия компонент смеси. Все рассуждения и определения настоящего параграфа, приведенные выше, справедливы как для однокомпонентных сплошных сред, так и для многокомпонентных. Ho в многокомпонентных сплошных средах можно определить еще ряд связанных с энтропией параметров для каждой компоненты смеси, если системы частиц различных сортов, находящихся в любом физически бесконечно малом трехмерном объеме V3(X)y можно в течение физически бесконечно малого отрезка времени Zi (х) рассматривать как независимые.
