Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
* 8] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ 97
записать так:
6R =J- J Xb + <8л9>
Vlic
Проинтегрируем член, содержащий производные да 6рД по частям с помощью формулы Остроградского —Гаусса
(1.45):
(8.21)
7 J ^bRT да ^V-g d*l =
v/ic
-7 J (^aRf (Pt-dt+u -7 J (daV^g ^bRab) Sva d*l.
Ыс
После этого равенство (8.19) примет вид
SR = bvR+bzR = Ot (8.20)
где введены обозначения
w-l J ?*^d%
VZic
6S/? = j J 6r“/ad*?;
Га = VzzS ^bRa ~ да V=g URcA,
(8.22)
Sra = KbRT 6vA.
Прибавим теперь к левой части вариационного уравнения (7.17) выражение для функционала 6Rt который для всех возможных процессов должен быть равен нулю. В результате получим следующее уравнение:
6/ + W * + 6W + SR = 0. (8.23)
Динамические уравнения для непрерывных процессов.
Из вариационного уравнения (8.23) можно получить динамические уравнения, описывающие процессы, непрерывные в области V/І>с- Для этого рассмотрим вариации определяющих параметров 611і4 (?Y), равные нулю вместе со своими
4 Л. Т. Черный
98 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ ІГЛ. 3
первыми производными да6|хА на гиперповерхности
dV + 2±, представляющей собою границу области 1//2С:
бц» (^) = 0, да б|И (EV) = о, l<=dV + ±t. (8.24)
Тогда на основании выражений (8.11), (8.21) для поверхностных частей 8x1, 6sW*, бxR функционалов б/, 8W*, бR и соотношений (8.6), (8.9), (8.22), (8.24) поверхностные части указанных функционалов равны нулю:
б?/=0, bzW*=0, 8xR = 0. (8.25)
Поэтому, согласно выражениям (8.3), (8.20), для функционалов б/, 8W*, бR они сводятся к своим объемным частям
б/=б„У, 6W* = 8vW*f б R = 6VR. (8.26)
Функционал б№ находится из уравнения (8.23) при не равных нулю на границе области $вариациях определяющих параметров 6р,л и их производных дабцЛ Если же на границе области V/2,c вариации определяющих параметров и их производные обращаются в нуль, то функционал бW7 по определению равен нулю. Поэтому на основании равенств (8.26) вариационное уравнение (8.23) для вариаций определяющих параметров, удовлетворяющих условиям (8.18), принимает вид
bvI + 8vW* + 6vR = 0. (8.27)
Подставим в это уравнение выражения (8.4), (8.7),
(8.21) для функционалов 8vl, 8y№*, бVR:
7 I + <8-28>
* 'K ____
Присутствующие здесь в скобках слагаемые б V—g Л/б(И, 6до*/6|хл, 6г/6|хл определены равенствами (8.5), (8.8), (8.22).
Вариации определяющих параметров 6|хЛ не все являются независимыми, так как они должны удовлетворять связям (8.18). Пусть эти связи таковы, что часть вариаций определяющих параметров можно считать независимыми, а остальные вариации могут быть выражены в конечном виде через указанные независимые вариации и их производные при помощи соотношений (8.18). Именно такого типа связи будут рассматриваться в следующих главах при изучении конкретных моделей сплошных сред.
§ 8] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
99
К нему относятся и связи (8.16), для которых с учетом формулы (8.15) независимыми можно считать, например, вариации
б*\ бг|)“, 8хг, бр.а, bmia, 6<р?, Scpi,
где /=1........ N-I', 1 = 1, N; г=1, ..., R-, а =
= 1, 2, 3.
Остальные вариации:
6$, брів, бт,о, б Pa, б та, бф?, бф“, бф
выражаются при помощи соотношений (8.16), (8.15) через указанные независимые вариации и производные да бхч = = Xa дц Sxv.
Выберем неопределенные множители Лагранжа %в так, чтобы в уравнении (8.28) коэффициенты при зависимых вариациях определяющих параметров, т. е. выражения в скобках, обратились в нуль1). Тогда из уравнения (8.28) следует, что коэффициенты при оставшихся независимых вариациях определяющих параметров также должны быть равны нулю. Таким образом, получаем, что при всех значениях мультииндекса В для достаточно гладких действительных процессов в области Vlf, должны выполняться уравнения
^^+?-0' (8'29> Входящие в них слагаемые определяются равенствами (8.5), (8.8), (8.22).
Уравнения (8.29) являются динамическими уравнениями и называются уравнениями Эйлера для вариационного уравнения (8.23). Из них следует, что для значений определяющих параметров, соответствующих действительным процессам, соотношение (8.28) (или эквивалентное ему соотношение (8.27)) выполняется при любых значениях 6|хл, возможно и не удовлетворяющих условиям (8.18).
Выражение для функционала 6 W. Из вариационного уравнения (8.23) можно найти также функционал 6W для значений определяющих параметров, соответствующих действительным процессам, и для вариаций определяющих параметров около этих значений.
1J При сделанном выше предположении о разрешимости связей (8.18) относительно независимых вариаций и их производных всегда можно выбрать множители Кв> как здесь указано.
4*
100
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ГГЛ. 3
Рассмотрим вариации определяющих параметров, отличные от нуля на границе области Vlfcy т. е. на гиперповерхности <5К + ^±- Подставляя в уравнение (8.23) выражения (8.3), (8.20) для функционалов 6/, 6W*, SR, приведем его к виду
6 V1 + Ы + SvW* + S1W* + 8W + 6 VR + 6 ZR = 0.
Учитывая затем, что для значений определяющих параметров, соответствующих действительным процессам, при любых вариациях 6[хл выполняется соотношение (8.27), получим следующее равенство:
