Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что в связи с 4-тензором поляризации и намагниченности любой і-й компоненты смеси можно определить четырехмерные векторы Pi И Tni так, что будут выполняться соотношения
N
(5.26)
(5.27)
t=l і=I
Piv = uKMi\v, miv= J EvvxkU1*MfK, (5.28)
pto = Mfoo = 0, p% = Mtak = Pfftl m% = 0, mtk = у ЄтмМ*'''У = — -g воиРдМ*рч = M*k\
pivuv = PiaUa = 0, mivuv = ItiiaUa = 0; (5.30)
= uapf-u^pf+ еа^\тій, (5.31)
70
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
которые полностью аналогичны соотношениям (5.19)—(5.21) и (5.25). Из выражений (5.29) для компонент векторов Pi и mit взятых относительно ГСК, являющейся собственной для рассматриваемой точки пространства событий, вытекает физический смысл векторов Pi и nii. Они называются 4-векторами поляризации и намагниченности і-й компоненты смеси.
В качестве параметров, характеризующих в каждой точке области V поляризацию и намагниченность і-й компоненты смеси, можно использовать также тензор р? и векторы я*, jiij, определенные равенствами
W2' = rti\if\ Pi = Ttii = /IjjLii. (5.32)
Они представляют собой 4-тензор поляризации и намагниченности і-й компоненты смеси и 4-векторы поляризации и намагниченности і-й компоненты смеси, отнесенные к собственной плотности числа частиц і-го сорта.
Средние характеристики электромагнитного поля в сплошной среде. Пусть через некоторую область V пространства событий Минковского проходят мировые линии системы материальных частиц. Если у некоторых сортов этих частиц электрические заряды отличны от нуля, то такие частицы создают в пространстве событий собственное электромагнитное поле, которое может сильно изменяться между мировыми линиями частиц. В результате электромагнитное поле (оно, конечно, может создаваться и внешними источниками) будет в области V микронеодно-родным. Рассматривая указанную систему материальных частиц в области V как релятивистскую сплошную среду, введем в каждой точке х из V средние характеристики электромагнитного поля Filvt определенные равенствами
f^v (X) (5.33)
С
Здесь V (о) — четырехмерный объем физически бесконечно малой четырехмерной области о, содержащей точку Xt
— компоненты тензора напряженности электромагнитного поля в вакууме, определенного в § 2.
Из равенства (5.33) следует, что величины Fiiv образуют компоненты четырехмерного антисимметричного тензора второго ранга Ft называемого тензором напряжен-ности электромагнитного поля в сплошной среде. Компо-
§ 5] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ 71
ненты этого тензора удовлетворяют в ГСК хУ уравнениям
^dvF3lx = 0, (5.34)
вытекающим из уравнений (2.9). В CCK Iа равенство (5.34) записывается следующим образом:
eapY%Fv6 = 0. (5.35)
Можно легко найти общее решение этих уравнений:
Fap = = даА$ — д$Аау (5.36)
где Aa — компоненты вектора Ay называемого 4-потенциа-лом электромагнитного поля в сплошной среде. К нему относится все, что было сказано в § 2 о 4-потенциале
электромагнитного поля в вакууме. В частности, 4-потен-циал определяется уравнениями (5.36) не однозначно,
а с точностью до градиентного преобразования
K = К (5.37)
относительно которого должны быть инвариантны все уравнения и параметры, имеющие физический смысл.
Такую инвариантность называют градиентной [4, 5, 10].
Для компонент тензора напряженности электромагнитного поля и его 4-потенциала, взятых относительно ГСК Xv, приняты соответственно следующие специальные обозначения:
/ о E1
F =[ 0 “
rJXV I — E2 S3
V— E3 — B2
/0 -E1 -E2
Fw-Ie 1 0 B2 (5.38)
[E2 B3 0
\Е3 — B2 Bi
i4v = ((p, aly а%у а3)у
^v = (cp, —аъ — а2у —а3).
Здесь индекс [і указывает номер строки, а индекс v —
номер столбца. Можно доказать, что при переходе к другой ГСК, соответствующей системе отсчета, неподвижной относительно исходной, величина ср не изменяется, а величины Eki Bky ak преобразуются как компоненты трехмерных
векторов. Они называются соответственно напряженностью
72
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
электрического поля (в среде), индукцией магнитного поля (в среде) и векторным потенциалом магнитного поля. Величина ф называется скалярным потенциалом электрического поля. Используя равенства (5.38), легко записать уравнения (5.34), (5.36) в трехмерном виде аналогично тому, как это было сделано в § 2:
еы>'дрВг = -1 dkB* = 0; (5.39)
?‘=-7^-5' = (8-40)
Наряду с тензором F в качестве характеристик электромагнитного поля в среде можно ввести еще тензор индукции электромагнитного поля Н\ 4-векторы напряженности и индукции электрического поля еу d\ 4-векторы напряженности и индукции магнитного поля А, b. Их компоненты определяются равенствами
Hafy = /^Р + 4л;АїаЄ; (5,41)
ва—^a— 2
d<x = Hfyalfi i Ha = ~2 SfyaybtfiH^,
(5.42)
причем для компонент тензора H в ГСК приняты специальные обозначения:
IPiv =
Di D2 D3
0 -Hs H2
Ht 0 -H1
H1 0
— D2 - D3\
— H3 нЛ
0 — H1J-
H1 0 /
(5.43)
Здесь индекс jn указывает номер строки, a v — номер столбца. При переходе к другой ГСК, соответствующей системе отсчета, неподвижной относительно исходной, величины Dky Hk преобразуются как компоненты трехмерных векторов. Они называются индукцией электрического поля и напряженностью магнитного поля. Из