Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
N
= O (г= I........R). (5.9)
I= 1
Используя равенства (5.9) и (4.22), легко доказать, что сумма Se1V1- равна нулю:
N N , R \ R / N \
Yi e‘v‘= 2 Єі[Ті )=2(2 e»v«> =(5-10>
(=1 і= I V=I ' r=i \i=i /
Умножим теперь дифференциальное уравнение баланса числа частиц t-ro сорта (см. уравнение (4.4)) на величину их электрического заряда et и просуммируем полученные равенства по і от 1 до N. В результате, учитывая также выражение (5.6) для 4-вектора плотности электрического тока и соотношение (5.10), получим следующее уравнение:
dvJv = 0. (5.11)
Это уравнение выражает в дифференциальной форме закон сохранения электрического заряда и называется уравне нием баланса электрического заряда. Интегрируя обе части равенства (5.11) по области V в пространстве событий и используя формулу Остроградского— Гаусса (1.45), получим соотношение
\JVvd% = 0,
выражающее закон сохранения электрического заряда в интегральной форме.
Переходя в уравнении (5.11) к CCK Ea и учитывая выражение (5.3) для 4-вектора плотности электрического тока, представим его в виде
Va(czua+ /а) = 0. (5.12)
Используя затем второе тождество (1.35) и равенства (3.8),
64
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
(3.19), найдем, что
±(czVy) + da(V^gh=o.
Умножим это равенство на произведение dl°.,.dl3 и проинтегрируем обе его части по четырехмерной области dV пространства событий, представляющей собой бесконечно тонкую трубку мировых линий точек сплошной среды, боковая поверхность которой состоит из мировых линий, а торцевые поверхности ортогональны им (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий). Использовав затем формулу Остроградского — Гаусса (1.45), равенства (5.4) и определение собственного времени, получим следующее соотношение:
гУ yd?1 ^ = — і ^ jala d%.
d2
Левая часть этого равенства представляет собой изменение суммы электрических зарядов частиц в бесконечно малом элементе сплошной среды d3l с собственным объемом dv3 = Vyd3I в течение промежутка собственного времени от Ti до т2. Правая часть этого равенства дает полный поток электрического заряда частиц через боковую поверхность <22 рассматриваемой трубки мировых линий, т е. полный поток электрического заряда частиц через двумерную поверхность указанного бесконечно малого элемента сплошной среды d3l в течение промежутка собственного Времени ОТ Tl ДО T2.
Параметрическое представление величин J9 J9 г. Четырехмерный вектор плотности электрического тока J9 4-век-тор плотности электрического тока проводимости J и собственная плотность электрического заряда z выражаются при помощи равенств (5.6)-(5.8) через параметры %,/*, щ (і =I9 N)9 где г]/ — 4-вектор плотности потока числа
частиц і-то сорта, I1- 4-вектор плотности диффузионного потока частиц i-ro сорта, щ — собственная плотность числа частиц і-го сорта. Запишем выражения (5.6)-(5.8) в компонентах относительно CCK Iа и подставим вместо величин ni9 If9 г]? их параметрические представления (4.33) или (4.39)-(4.41), учитывая при этом, что на основании соотношений (4.59) и (5 9) выполняются равенства
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
65
Здесь % — параметр производства частиц t'-ro сорта, %г — параметр г-й реакции, v,> —стехиометрические коэффициенты (эти величины были определены в § 4).
В результате получим следующие параметрические представления для г, /“, Ja-.
г“ Ir-W*
f = - ± = - C^ Vy - {[)VUP);
Ja = CZUa + /“ = CVv ($“MY _
ГДЄ N
М>“ = 0, ф“ = ^,
1 = 1 V У
a tyf — параметры диффузии частиц і-го сорта, введенные в § 4. Очевидно, что при любых достаточно гладких функциях ^a(Iv) собственная плотность электрического заряда z и компоненты 4-вектора плотности электрического тока проводимости /а, определенные равенствами (5.13), удовлетворяют уравнению (5.12). Определенные же равенством (5.14) компоненты 4-вектора плотности электрического тока Ja удовлетворяют уравнению баланса электрического заряда VaJa = 0. Полученные здесь параметрические представления для величин г, /а, Ja будут использованы в последующих главах при выводе динамических законов из вариационного уравнения.
Рассмотрим физический смысл параметров г|эа, которые будем называть параметрами электрического тока. Для этого умножим обе части соотношения (4.44) на электрический заряд Єі частиц i-ro сорта и просуммируем полученные равенства по і от 1 до N. Учитывая также определение (5.15) параметров электрического тока г|эа, получим следующее соотношение:
^ аи) - ^ (^0*)=^r І ^е) •
Здесь — поток числа частиц і-го сорта через гиперповерхность d^c) в направлении Iе (гиперповерхность d2(c) была введена в § 4 при изучении физического смысла приращений параметров диффузии tp«); d?a, d\b — интер-
3 Л. Т. Черный
(5.13)
(5.14)
(5.15)
66
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
ГГЛ. 2
валы, которым принадлежат значения сопутствующих координат Iа, Ib на мировых линиях, образующих гиперповерхность d2(c) (значение координаты Iе на ней постоянно); и її# — значения сопутствующей координаты I0 на концах этих мировых линий; индексы а, Ь% с образуют круговую перестановку из 1, 2, 3. Сумма в правой части полученного соотношения представляет собой полный поток электрического заряда частиц через гиперповерхность dl>{c) в направлении |с, т. е. поток электрического заряда частиц через вмороженную в сплошную среду бесконечно малую двумерную площадку dlb (на которой 1е = = const) в направлении 1е в течение отрезка «времени» от U до Отсюда непосредственно вытекает физический смысл приращений параметров электрического тока г|эс при перемещении вдоль мировой линии любой точки сплошной среды.
