Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
N N
Фа=2 ф« ф = 2 ф|. (6.34)
<=1 f= 1
Величины фа и ф будем называть параметрами переноса и производства энтропии сплошной среды, а величины ф® и ф. — параметрами переноса и производства энтропии і-й компоненты смеси. Полученные выше параметрические представления будут использованы в следующих главах при выводе динамических законов из вариационного уравнения.
В настоящей главе были кратко изложены основные понятия кинематики различных релятивистских процессов. Многие из них подробно рассматриваются в рабо-іііх (1 - 15].
ГЛАВА З ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
§ 7. Вариационное уравнение JI. И. Седова
Определяющие параметры. Рассмотрим движение сплошной среды, сопровождающееся различными внутренними процессами, например переносом и производством энтропии, электромагнитными процессами или диффузией и реакциями, если сплошная среда представляет собой многокомпонентную смесь.
Ограничимся в дальнейшем случаем, когда поведение сплошной среды относительно выбранной ГСК Xv может быть полностью описано конечным числом функций *)
Va = VaG?),
заданных в некоторой области V0 из пространства переменных ?Y. Эта область представляет собой множество значений сопутствующих координат. Функции \лА (?Y) называются определяющими параметрами. Для различных сплошных сред набор определяющих параметров \іА (?y), а также класс функций, которому они принадлежат, могут быть различными.
Среди определяющих параметров [iA (?Y), например, могут присутствовать некоторые из следующих функций:
у* (р), Xr(Ev), ^a(Ev),
Pa(Iy), "la (?V), Pia(Iy), "Ца (V), (7.1)
Aa(Iy), ф“(Еу), ф(^), Tf(Ev), ф< (Ev),
1J Здесь и в дальнейшем мультииндексы, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита (At Bt ...), принимают значения из некоторого множества, включающего в себя скалярные индексы (номера определяющих параметров, номера компонент смеси и т. п.), тензорные индексы (ковариантные, контравариантные и смешанные), а также комбинации скалярных и тензорных индексов. По повторяющимся нижним и верхним мультииндексам подразумевается суммирование.
§ 71 ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Л. И. СЕДОВА
83
введенных в предыдущей главе. Отметим, что если известны функции (7.1), то известны и все их производные по координатам ?Y, а следовательно, и зависимость от ?Y введенных ранее величин
gap (Iv), а. (6*), Эа№), TVp(SY); а, у(2). w, е, ю, nit Ih р, со,, vb г, J, J, M2', р, т, Mi211 pi, mh Я2>, s, S, о, Si, Si, о,-,
выражающихся через функции (7.1) и их производные (а также через постоянные компоненты gtiv и векторы av). Зная закон движения сплошной среды, можно, конечно, найти зависимо'сть параметров (7.2), (7.3) не только от сопутствующих координат Iv, но и от координат Xv ГСК наблюдателя. Очевидно, что для одних и тех же процессов вид функций (7.1), (7.2) зависит от выбора применяемой CCK |“, однако картина мировых линий сплошной среды и значения параметров (7.3) в точках пространства событий не зависят от выбора CCK Iа.
Неоднозначность определяющих параметров. Следует иметь в виду, что, хотя функции (7.1) однозначно определяют соответствующие процессы (движение сплошной среды, диффузию и реакции, электромагнитные процессы, перенос и производство энтропии), обратное не верно. Поясним это на ряде примеров.
Так как сопутствующая координата I0 представляет собой просто параметр точек на мировых линиях сплошной среды и не имеет однозначного физического смысла, то функции
x'v(|v) = Xv (|«, |'°(|°, 1°)), (7.4)
получающиеся из функций Xv(Iv) в результате произвольного изменения параметризации точек на мировых линиях (|°->-|'0(|0, |°)), описывают то же самое движение сплошной среды, что и функции Xv(Iv). Другими словами, мировые линии сплошной среды, задаваемые функциями x'v (Iу) и xv(|v), совпадают. Заметим также, что производная по собственному времени d/dx вдоль мировых линий вообще не зависит от способа параметризации точек на них.
Параметры диффузии и реакций г|э“ и были определены в § 4 с точностью до аддитивных функций от
(7.2)
(7.3)
84
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
[ГЛ. 3
лагранжевых координат |а, которые постоянны вдоль мировых линий сплошной среды. Поэтому функции ^af %'гу определенные равенствами
¦;e(6v)« ¦?(?*)+ад®*).
(Iv) = — U0Ua^a (|V),
* д* (75) ч!, (Iv) = ъ- (Iv)+%п (Is), 2 Virlrl = ~дф ’
г= 1
описывают те же самые процессы диффузии и реакции в многокомпонентной среде, что и функции tyf (|Y), Xr (Iy). В равенствах (7.5) через ф®, и обозначены любые функции от лагранжевых координат Iі, |2, |3, не зависящие от |° и удовлетворяющие последнему соотношению (7.5). Рассуждения, аналогичные проведенным здесь для функций г|^, справедливы также для параметров электрического тока г|)а, параметров переноса и производства энтропии компонент смеси <р“, ер, и параметров переноса и производства энтропии всей смеси в целом
Фа, ф.
Компоненты 4-потенциала электромагнитного поля Aa были определены в § 2 и § 5 лишь с точностью до градиентного преобразования (5.37):
Afa (Iy) = Aa (Iy) -даА (Iy), (7.6)
