Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(О-И? (SS)-JFJFЗр- (4'51)
Оно устанавливает физический смысл приращений параметров х} при перемещении вдоль мировой линии любой точки сплошной среды. Физический смысл аналогичных приращений параметров Xr вытекает из соотношения
dx+r-dx г
Xr (?**) %/¦(?*) == dd?3 *
являющегося следствием равенств (4.49), (4.51). При этом надо учесть, что разность dXr — dXr представляет собой суммарное число элементарных актов г-й реакции внутри трубки мировых линий dV. Отметим также, что на основании равенств (4.45), (4.51) и (4.48) имеет место выражение
Vir(dXt-dX7),
Г= 1
где dWi — введенное выше суммарное изменение числа частиц і-го сорта во всех столкновениях внутри области dV.
Параметры Xri Xr и Ъ будем называть соответственно параметрами г-й реакции, г-й прямой и г-й обратной реакций.
§ 5. Электромагнитные процессы
Плотность электрического заряда и тока. Рассмотрим систему материальных частиц, мировые линии которых проходят через некоторую четырехмерную область V пространства событий Минковского. Представляя эту систему в области V как релятивистскую сплошную среду, введем в каждой точке х из V средние характеристики Jv(X)9
= \ U±V-gd4 =
dV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
61
определенные равенствами
(5.1)
О (X)
Здесь е — электрический заряд одной частицы (у разных частиц он, конечно, может быть разным); остальные обозначения те же, что и в определении (3.1) для 4-скорости сплошной среды. Из равенства (5.1) следует, что величины Jv являются компонентами четырехмерного вектора У. Его называют 4-вектором плотности электрического тока в сплошной среде.
Равенства (5.1), определяющие величины Jvf можно также записать в трехмерном виде (учитывая, что u'v = = dx'v/d&'):
j° (t, **)-{? 2 е)’ Jk(t> *г)==(^2еу*)’ (5-2) n_ * •
где все специальные обозначения (2, (•••>» vk) такие
же, как и в выражениях (3.2) для ри°, рик. Из соотношений (5.2) следует, что относительно выбранной ГСК величина J0/с представляет собой среднюю плотность электрического заряда частиц, а компоненты Jk совпадают с компонентами трехмерного вектора средней плотности электрического тока частиц.
Введем еще собственную плотность электрического заряда г и 4-вектор плотности электрического тока проводимости J9 которые определяются равенствами
Из них следует, что вектор / ортогонален (в смысле псевдоевклидовой метрики пространства событий) 4-скорости сплошной среды и:
Очевидно, в ГСК, являющейся собственной для рассматриваемой точки х из области V9 справедливы соотношения
г (х) = - У*0, /*° (л:) = 0, j*k (х) = J*k (х). (5.5)
Здесь звездочка указывает, что соответствующие компоненты векторов берутся относительно собственной для точки X ГСК. Из соотношений (5.5) вытекает физический
J=(ZU+j9 z=-c (Jy и).
(5.3)
(у, в) = О, /X, = ZXc = о.
(5.4)
62
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
смысл величины г и компонент /v. Величина z(x) представляет собой среднюю плотность электрического заряда частиц в точке х пространства событий относительно ГСК, собственной для этой точки. Компоненты jk(x) в собственной для точки X ГСК совпадают с компонентами трехмерного вектора средней плотности электрического тока частиц в точке Xf а компонента /°(х) в собственной для точки х ГСК равна нулю.
Пусть рассматриваемая система частиц представляет собой смесь N сортов частиц. Обозначим через et электрический заряд частицы /-го сорта (/=1, ..., jV). Тогда, сравнивая определение (4.3) для компонент 4-вектора плотности потока числа частиц 1-го сорта и определение (5.1) для компонент 4-вектора плотности электрического тока, легко установить соотношение
(5.6)
1 = 1
Подставив в него выражение (4.13) для %, получим такое равенство:
N
J=Ti (ceIfIiU -J-eJi). (5.7)
і= I
Это выражение для J в свою очередь подставим в соотношения (5.3), определяющие г, у, и учтем равенства (Iiy и) = О (I = 1, ..., N). В результате найдем следующие формулы:
N N
г = 2 J= 2] eJi, (5.8)
t=1 1 = 1
связывающие собственную плотность электрического заряда с собственными плотностями числа частиц различных сортов и соответственно 4-вектор плотности электрического тока проводимости с 4-векторами плотностей диффузионных потоков частиц различных сортов. Кроме того, В ЭТИ формулы ВХОДЯТ электрические заряды Єі (/=1, ... ..., N) частиц различных сортов.
Закон сохранения электрического заряда. Установлено, что при любых столкновениях между частицами независимо от того, происходят при этом между ними реакции или нет, сумма электрических зарядов частиц, участвующих в каждом столкновении, не меняется в результате
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
63
этого столкновения. При свободном движении любой частицы или при движении ее только под действием электромагнитного поля электрический заряд частицы также остается постоянным. He существует ни одного исключения из этих правил, которые называются законом сохранения электрического заряда [4, 5, 9].
Применяя указанный закон к реакциям между компонентами смеси, найдем, что определенные в § 4 стехиометрические коэффициенты Vir должны для любой г-й реакции удовлетворять соотношениям
