Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
где A (|Y) — произвольная функция от |Y. Поэтому функции А'а (|Y) должны описывать то же самое электромагнитное поле, что и функции (|Y).
Таким образом, определяющие параметры \iA (|Y), вообще говоря, могут быть подвергнуты преобразованиям (при фиксированных ГСК Xv и лагранжевых координатах |а), которые не влияют ни на какие физические процессы. Естественно, при решении конкретных задач определяющие параметры могут быть найдены лишь с точностью до указанных преобразований. При этом мировые линии сплошной среды и параметры (7.3), которые, собственно говоря, и являются физическими характеристиками различных процессов, определяются однозначно.
Использование в качестве определяющих параметров неоднозначно определенных функций типа (7.1) обусловлено следующими причинами. Функции из (7.1) или не-
§ 7] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Л. И. СЕДОВА 85
зависимы, или связаны между собой простыми соотношениями
N
M5? = 0- S "Vt? = °. M^ = 0-
г= і
UaPa = 0, UaMa = о, UaPia = 0, UaMia = 0,
JV AT JV (7 7.
1P3t=-S Pa=S WIa=S mM-
i = l I= I 1 = 1
JVr JVr
Иаф“ = 0, Иаф“ = 0, фа=2 ф“, Ф=S cPi-
t = і /;= і
Параметры же (7.3) (и (7.2)) выражаются достаточно сложным образом (см. гл. 2) через функции (7.1) и их производные. Поэтому указанные параметры нельзя считать независимыми, а связи между ними имеют сложный дифференциальный характер. Выражения параметров (7.2), (7.3) через функции (7.1) являются общим решением этих связей. При выводе динамических законов из вариационного уравнения независимость определяющих параметров из (7.1) или простой характер связей между ними имеют решающее значение.
Действительные и возможные процессы 1J. Определяющие параметры |хл, описывающие физические процессы, должны удовлетворять некоторым уравнениям. Они выражают динамические законы, которым подчиняются рассматриваемые процессы, называемые в этом случае действительными.
Рассмотрим наряду с действительными процессами некоторый содержащий их более широкий класс возможных процессов. Так называются процессы, которые удовлетворяют тем же кинематическим соотношениям, что и действительные процессы, но не подчиняются динамическим законам. Возможные процессы описываются определяющими параметрами
(I?) (??) +6^ (iV),
значения которых отличаются на величины 8ц. ^ (?v) от значений определяющих параметров, описывающих действительные процессы. Функции vA (?v) и ц"4 (р) принадлежат одному и тому же классу функций, так как по определению
1J Теория, изложенная ниже в настоящей главе, в значительной
мере основана на результатах работ (1—21].
86
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ГГЛ. 3
они должны удовлетворять одинаковым кинематическим условиям. Функции же Sfiy4 (?Y), называемые вариациями соответствующих определяющих параметров (Xу4, могут принадлежать, вообще говоря, к другому классу функций. Пусть, например, функции ^y4(Iv) являются непрерывно дифференцируемыми в области V0 функциями, за исключением некоторой гиперповерхности ?2, на которой заданы скачки параметров \лА и их производных да\іА. Тогда, очевидно, функции б|лл (Ev) должны быть непрерывно дифференцируемыми всюду в области V0y включая гиперповерхность
Рассмотрим величину G, которая является функцией или функционалом от определяющих параметров \лА и конечного числа их производных. Вариацией SG, соответствующей вариациям Sfiy4 определяющих параметров |хл, будем называть главную (т. е. линейную по приращениям SfH, SAaIjA SActApiiy4,...) часть приращения величины G9 соответствующую приращениям Sfiy4 определяющих параметров [Iа. Для вариаций производных от определяющих параметров по сопутствующим координатам ?Y, очевидно, имеют место соотношения
SAaJiy4 = A0Jiy4 AaJii4 = AaSfiy4,
SAaApfiy4 = AaSApfiy4 = AaA3Sfiy4, (7.8)
SAai.. .Aa^fiy4 = ... = Aai... A0^Sfiy4.
Аналогичные формулы справедливы для любой функции X от определяющих параметров и их производных
SAacSP = AccScS?, ..., SActl... Aa^cSP = Aai... AttjiSi?. (7.9)
Отметим, что введенные здесь вариации определяющих параметров Sfiy4 ведут себя при преобразованиях ГСК Xv и CCK Iа так же, как и соответствующие параметры fiл, т. е. имеют ту же тензорную природу. При этом другие тензорные величины, выражающиеся через определяющие параметры и их производные, при варьировании рассматриваются просто как заданные функции этих параметров и их производных.
Примеры вычисления вариаций некоторых величин через вариации определяющих параметров.
1. Вариации производных Axv/A|a = xv, A?a/Axv==|®. Очевидно, имеют место равенства
8xv = ArySxv = jt* AaSxv.
a a а л.
§ 7] ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ Л. И. СЕДОВА 87
Учитывая соотношения
6?vVp+?v“6^ = 0,
легко также вычислить вариации величин
Окончательно имеем
8x1 = х\дхЬх\ = — Hdvbx*- (7-Ю)
2. Вариации компонент метрического тензора в CCK Используя выражения (1.14) для и (7.10) для 8xv
найдем, что1)
6gap = 6 (g^aXp) = SrHV (xaJCfidxSx^ + x?xpdk8xV) =
= Va6xp + VpSxa = V(a6xp).
Здесь
8xa = х?8хц, = gtlv8xv,
6xa = ^ap6xp = i“6xv. ‘
