Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
?
1+2-
|Я|
і )/2
tf*Z
1F
. / Z* t \ . HZ*
~ tVY ~~ 1J -1V2 -y-
IZl2
?
(64)
109. Уравнения Эйнштейна—Максвелла
285
Обратная матрица имеет вид
>-1 —
Hf
к H*z Л , ft I я I2 ,. /-н я*
W
¦7J Я_ _1_
? 1F
-/2^- 1 + 2 -Цр— -//2 * ( -О "Ь 2
(65)
Гюрши и Ксантопулос показали, что уравнения Эрнста можно представить в виде одного матричного уравнения
(AP-1Pf2)^ + (SP-1Pf3)j3 = 0, (66)
которое, будучи записано поэлементно, дает девять уравнений, причем все они являются различными комбинациями уравнений Эрнста. Немедленным следствием уравнения (66) является тот факт,, что если матрица P представляет решение, то решением является и матрица APA-1, где А — произвольная постоянная обратимая матрица. Выбирая различные матрицы А, мы можем
получить все преобразования, которые допускают уравнения
Эрнста.
д. Операция сопряжения. В гл. 6 (п. 52, а) было показано, что, имея заданную метрику вида (1), мы можем построить сопряженную метрику того же вида путем преобразования
t -> ир, ф -> —it. (67)
и замены х и со на величины
X = —хКх2 — ®2). © = <о/(х2 — ®2)- (68)*
Чтобы установить, как преобразуется потенциал Я при такой операции сопряжения, заметим, что, переписывая уравнение (33) в виде
(X (Mb)WH9 2 - /соЯ, з). 2 + (х (б/Д)1/2Я, з + тН9 2). з = 0, (69)
мы можем определить потенциал Я уравнениями
-H9 з = X (Д/б)1/2Я, 2 - тН, 3; +H9 2 = /COЯ, 2 + Хг(б/А)1/2Я, 3. (70) Разрешая эти уравнения относительно Ht2 и Я, 3, получаем
Я, 2 = X (б/Д)1/2 H9 з + г'соЯ, 2, Я, з = — х (Д/S)1/2 Я 2 + /соЯ, з, (71)
где хи® определены соотношениями (68); условие интегрируемости этих уравнений имеет вид
(х (Д/б)1/2# 2 - M9 з). 2 + (X (б/Д)1/2 H9 з + ItoH9 о). 3 - о. (72)
45 В случае пустого пространства, расмотренном в гл. 6, величина % может быть выбрана с любым знаком, но теперь, как станет ясно ниже, правильным является отрицательный знак.
286
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Это уравнение почти совпадает с уравнением (69), различие лишь в том, что оно записано в переменных с тильдой, а уравнение (69) зависит от переменных без тильды, т. е. операция сопряжения
приводит к замене Я на Я. Этот результат может быть подтвер-
жден прямой проверкой: функции %, со и Я действительно удовлетворяют уравнениям точно того же вида, что и функции %, со и Я (уравнения (30) и (37)), но проверка эта довольно утомительна.
Из сказанного выше следует, что если ввести функции и Ф такие, что
V = (Дб)1/2/*, (73)
— Ф 2 = (6/х2) ю. з + 2 Im ##%, + Ф з = (Л/х2) ю. 2 - 2 Im ЯЯГз,
(74)
то функции
Z = Y + I H I2 + ІФ и H (75)
будут удовлетворять уравнениям Эрнста (58) и (59).
110. Решение Керра—Ньюмена: вывод решения и описание его в формализме Ньюмена—Пенроуза
Как и решение Керра (гл. 6, § 54), решение Керра—Ньюмена получается, если выбрать простейшее решение уравнений Эрнста для сопряженной метрики.
Поскольку мы теперь имеем дело с парой уравнений, поиск «простейшего решения» делится на два этапа. Во-первых, существует ли какое-нибудь простое предположение, позволяющее свести пару уравнений (58) и (59) к одному уравнению? И, во-вто-рых, если такое уравнение существует, каково его простейшее решение?
Что касается первого вопроса, то ответ таков: линейное соотношение вида
Я = Q (Z + 1), (76)
где Q — комплексная постоянная, совместно с парой уравнений (58) и (59), потому что при этом предположении
? = V2 (Z + Z*) — I Q (Z + I) I2 =
= V2 [(I — 2 jQl2) (Z + Z*) — 21 QI2 (IZI2 + 1)], (77)
- и оба уравнения (58) и (59) сводятся к одному и тому же уравнению
V2 [(I — 21Q |2) (Z + Z*) -
- 2 IQI2 (| ZI2 + I)] [(AZ12), 2 + (SZ1 з), 3] =
= [1 — 2 IQI3 (Z* 4- 1)1 [A (Zl2)2 + б (Zl3)2I. (78)
IlO. Решение Керра—Иьюмінй
28?
Задача, таким образом, эффективно свелась к решению уравнения Эрнста в пустоте. Поэтому при поиске решения уравнения (78) сделаем то же преобразование, что и в гл. 6 (уравнение (95)):
Z = (I + Е)/( 1 — Е). (79)
При этом
У = |1 -?|-2(1 -4|Q|2-|?|2), (80)
Ф = Im Z = — і (Е — ?*)/| 1 — E I2, (81)
а уравнение для E имеет следующий вид (ср. с уравнением (96) гл. 6):
(1 — 4 IQI2 — I ? I2) [(А?, 2),2 + (6?,3),з1 =
= —2Е* [А (?, 2)2 + б (E, з)2]. (82),
Замена переменной г на ц
г] = (г — М)/(М2 — МІ)112, (83)
когда
A = (M2-Mo2)(Tl2-I), (84)
позволяет записать уравнение (82) в более симметричной форме (I - 41QI2 - IE I2) {[(ri* - 1) „ + [(I - E.,],,} =
= _2?*[(т,*- 1) (?,„)*+ (I -И2)(?„)2]- (85)
Дальнейший вывод решения Керра—Ньюмена можно продолжать теперь так же, как и в § 54. Рассмотрим уравнение (85) для сопряженной функции Ё. Можно проверить, что оно допускает простое решение
E = —pr\ — iq[i, (86)
где р и q — две действительные постоянные, связанные соотношением
р* + q2 = j _ 4 j q |2 (87)
Если функция E задана уравнением (86), то
TTJ = (I + pri)2 + [— P2 (tI2 - 0+ <7* О -^2) +
+ 4|QP-2/W]. (88)
Следовательно,
