Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 96

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 126 >> Следующая


[(Х2/б) (Ф. г + 2 Im HHU)], 2 + [(Х2/Л) (Ф. з + 2 Im HHUK з = 0. (40) Удобно ввести функцию (ср. с уравнением (98) гл. 6)

W = (Дб)1/2/*. (41)

Переписанное через ?, уравнение (40) принимает вид [(A/*'2) (Ф. г + 2 Im HHU)], 2 + [(6/«F2) (Ф, з + 21m HHU)]. з = 0.

(42)
282 ГлйАа 11. Другиё решения, йльтернйгПкёныё методы

Расписывая его подробно, получаем

W ЦА (Ф. 2 + 2 Im HHU)], г + [б (Ф. з + 2 Im HHU)], з} =

= 2А (Ф, г + 2 Im HHU) ^.2 + 26 (Ф, 3 + 21m HHU) з- (43)

Аналогичным образом можно переписать уравнение (37) через функции ? и Ф:

V [(А 2). 2 + (6^.3),3] =

= А (У. 2)2 + s CF, з)2 - 2V [A I H, 212 + б І Я, з I2] -

— А (Ф, 2 + 2 Im HHU)2 — б (ф, 3 + 21m HHU)2, (44)

а вместо уравнения (33) получаем

? [(AH, 2). 2 + (6Я. з). з] = АН, 2 [Y1 2 + і (Ф. г + 2 Im HHU)] +

+ 6Я, 3 [xIrf3 + г (Ф,3 + 2 Im HHU)]- (45)

Выпишем теперь мнимую и действительную части уравнения

(33):

[(А/*) Л.2І.2 + [(6/Y) А, з].з = СО.зВ.2- СО.гВ.з,

[(Д/*‘)В.2].2 + [(б/?)В;з].з = и.гЛ.з —ю.зЛ.2. ( )

Наконец, приведем в виде лемм два следствия предыдущих уравнений:

ЛЕММА 1.

1F [(A I Я |%). 2 + (б I Я I23), з] =

= 2W [A I Я. 212 + б І Я, з I2] + А [| Я I22T, 2 +

+ 2 Im HHU (Ф. г + 2 Im HHU)] +

+ б [| Я |23 Y, з -j- 2 Im ЯЯ;з (Ф, з + 2 Im HHU))- (47)

ЛЕММА 2.

24я [(Aim HHU). г + (б Im HHU), 3] = 2А Im HHUyV. 2 +

+ 26 ImHH*з1?, з — [A I Я|% (Ф. г + 21m HHU) +

+ 61Я123 (Ф, з + 21т HHU) !• (48)

в. Уравнения Эрнста. Заметим прежде всего, что в силу тождества

(2 і Im HHU) ^Ht з - (Я#: 2 + Н*Н,2 — 2Н*Н,2) Д Ht2 =

= A j Я12 2 — 2Я* А (Я, 2)2 (49)

уравнение (45) может быть переписано в виде

V [(ДЯ,2),2 + (6Я, з), з] - — 2Я* [А (Я>2)2 + б (Я, з)2] +

+ ДЯ,2(Чг+|Я|2 + іФ),2 +

+ бЯ.зС'Р + I Я|2 + »Ф),3. (50)
109. Уравнения Эйнштейна—Максвелла

283

Далее, исключая члены с Im ЯЯ*2 и Im HH*3 из левой части уравнения (43) с помощью леммы 2 (уравнение (48)), получаем

W [(ДФ.2)а + (бФ.з),3] = А [Ф.2 (2Г + |Я|2),2 +

+ 2lm HHU (У + I#|2Ы +

+ б [Ф.3(2Т + |Я|2)>3 + 21ш HH*з (Т + |Я|2),3]. (51)

Подобным же образом, комбинируя уравнения (44) и (47), находим

W {[Л (ЧГ + |Я|2),2],2 + [6 or + IЯ12), з ], з| =

= A [(1F. 2)2 + IЯI 2 - (Ф, 2)2 - 21ш ЯЯ;2Ф, 2] +

+¦б [(Т. з)2 + I Я I з - (Ф, з)2 - 21ш ЯЯГзФ, з]. (52)

Теперь ясно, что левые части уравнений (51) и (52) могут быть объединены в выражение, зависящее от одной комплексной функции

Z = W + I #|2 + ІФ. (53)

Чтобы показать, что правые части этих двух уравнений могут быть также объединены в одно комплексное выражение, включающее только функции Z и Я, рассмотрим комбинацию

CF. 2)2 + IЯ12 2? 2 - (Ф, 2)2 + 2/Ф, 2У, о +

+ ІФ, 21Я |% + 2і Im ЯЯГ 2 (Y + I Я f + г'Ф), 2, (54)

которая появляется в правой части с коэффициентом А. Члены с Im HH*2 могут быть преобразованы следующим образом:

(2і Im HHU) Z12 = (ЯЯГ2 + Н*Н, 2 - 2Я*Я, 2) Z, 2 =

= (| ЯI2 2 - 2Я*Я, 2) Z, 2 = IЯI22 (ЧГ + IЯI2 + t-Ф), 2 - 2Я*Я, 2Z, 2,

(55)

и выражение (54) принимает вид

(V, 2)2 + 2 I Я |2 2 4я, 2 + (| Я |2 2)2 - (Ф. о)2 + 2І (V, 2 + IH |! 2) Ф, 2 -

- 2Н*Н, 2Z, 2 = (Z. 2)2 - 2Я*Я, 2Z, 2. (56)

Члены с коэффициентом б могут быть объединены аналогичным образом, и в результате получим

(Z, з)2 — 2Я*Я, 3Z, з. (57)

Следовательно, уравнения (51) и (52) эквивалентны одному комп лексному уравнению

1F [(AZ, 2), 2 + (6Z, з), 3] =

= A (Z, 2)2 + б (Z, з)2 — 2Н* (AZ, 2Я. 2 + бZ. зЯ. 3), (58)
284 Глава 11. Другие решения, альтернативные методы

а уравнение (50) можно переписать следующим образом:

T [(ЛЯ>2). 2 + (6Я, з), з] =

= Д Я. J8Zt2 + 6Я.3г,з-2Я* [Д (Я,2)2 + б(Я.з)2], (59)

где

? = Re Z — IЯ I2. (60)

Уравнения (58) и (59) и есть уравнения Эрнста; они очень удобным и симметричным образом объединяют четыре уравнения для функций х, со, Л и В в два комплексных уравнения, заменяющие одно уравнение Эрнста которое мы рассматривали в гл. 6 (уравнение (94)) для вакуумного пространства-времени.

г. Трансформационные свойства уравнений Эрнста. Пусть пара (Z, Я) есть решение уравнений (58) и (5,9). Тогда следующие пары также являются их решениями:

1) (Z + toe; Я), где а — любое действительное число,

2) (P2Z, PeiaH), где а и P — два действительных числа,

3) (Z + 2a*H + аа*, H + а), где а — любое комплексное

число,

4) (Z-1, HZ-1).

(61)

Инвариантность относительно преобразований 1 и 2 тривиальна и ясна без доказательства, преобразование 3 легко проверяется, а для доказательства преобразования 4 требуется произвести кое-какие выкладки.

Последовательно применяя то или другое из преобразований 1—4, мы можем получить новые решения. Действительно,

(Z, Я) (1/Z, HIZ) =* ((UZ) + ia, HIZ)

(Z/(I + iaZ), Н/(I + ZaZ)), (62)

(Z, Н) => (1/Z, HIZ) ((1/Z) + 2a* (Я/Z) + аа*,(HlZ) + а) =>

=*(Z/(1 + 2a*# + aa*Z), (Я + aZ)/(l + 2а*Я + aa*Z)). (63)

Эти преобразования называются соответственно преобразованиями Элерса и Гаррисона. Гюрши и Ксантопулос открыли замечательный способ записи уравнений Эрнста, который выявляет их трансформационные свойства. Определим эрмитову матрицу
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed