Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
В результате асимптотики решений Zi волнового уравнения (185) при г -> оо имеют вид
Вследствие такого поведения решений для реальных волн (падающих или отраженных) на бесконечности частота сг должна превышать те (напомним, что мы приняли соглашение считать а всегда положительным), Щто ограничение на сг согласуется с требованием, чтобы свободные частицы на бесконечности имели энергию, превышающую их энергию покоя.
а. Постоянство вронскиана [Z±, Z*±] в интервале г+ < г < оо. Потенциалы I/+, определяемые уравнениями (186), становятся бесконечными на горизонте при г = г+, когда a = os, А = О и
Потенциалы могут иметь и дополнительные сингулярности, если X принимает отрицательные значения (что и происходит при т = —1/2 и аа^ 1,8, см. приложение, табл. VII). Хотя не возникает никаких принципиальных трудностей при интегрировании уравнений для Zi в интервале, содержащем такие сингулярности (как уже объяснялось в п. 75, в и 76, в и § 105), нужно знать еще, как ведет себя вронскиан [Z+, Zl] при пересечении сингулярностей. Покажем, что вронскиан IZ+, Z*±] принимает одно и то же значение во всей допустимой области изменения г, т. е. в интервале г.|_ < г < оо. Действительно, из уравнений (167),
(175), (183) и (184) находим последовательно
V± -> ml - 2Mm2e/r + О (r~2).
(200)
щ. — r\-\- a2 + am jo = 2Mr+ -j- am/о — 0. (202)
I дІУ
2л dt
ЇЖ = Ip+,/212-I I2 = I Ф+./2І2 - 14>_,/2p =
= V41 Z+ + Z_ I2 - Vt I Z+ - Z_ I2 = z(+al)Z(leal) + Z^mlZil1
(im) y(im)
(203;
272
Глава 10. Частицы спина 1/2 в геометрии Керра
Поскольку величина dN/dt остается неизменной во всем интервале гJr < г < сх), отсюда следует постоянство вронскиана в том же интервале изменения г. Аналогично доказывается постоянство вронскиана [Z_, Zl].
Вернемся снова к задаче об отражении и прохождении волн, связанной с решением уравнения (185). Мы должны искать такие решения, например, для Z+, которые имеют следующие асимптотики:
Вследствие постоянства вронскиана (доказанного во всех случаях) получаем
Коэффициент отражения, таким образом, всегда меньше единицы, и суперрадиации быть не может. Кроме того, из сравнения уравнений (203) и (206) заключаем, что
Суммарный ток частиц, пересекающих горизонт событий, таким образом, всегда положителен.
б. Положительность потока энергии через горизонт событий. Поиски причин отсутствия суперрадиации для частиц спина 1/2, которое мы продемонстрировали с помощью уравнений движения, побуждает обратиться к спинору энергии-импульса для этих частиц, вид которого задается соотношением
(204)
Z+ 7 + (а) ехр (гаг*) (г -> r+ -f 0). (205)
Для решений с такими асимптотиками имеем
(204)
(205)
1-І R+ (о) j2 = a ((T2 - ml)-'121 T+ (о) f.
(208)
(209)
TАА’ВВ' = (І/2) \PaPa", BB- — PA-PA; BB- + PвРB--, AA
— Рв-Рв-, AA’ —Q/lQ.4'; BB' Ь Q/l'Q.*!; BB- —
— QbQb--, ал- jT Qb-Qb- аа-\- (210)
107. Задача об отражении и прохождении волн
273
Тогда для изменения энергии и момента количества движения
будем иметь (ср. с уравнениями (247) и (253) гл. 8)
2л я
(? = -} J йф, (211)
О О
2л л
(? = -] |П/=?Ч9<І,, =-2-(? (212)
О о
в той же системе координат, в которой мы записывали метрику Керра (уравнения (134) и (135) гл. 6). Поскольку
Trt = - (А/92) Trt, Trv = - (Д/р2) Tr9, (213)
V^—g = р2 sin 0, (214)
можно объединить уравнения (211) и (212):
= 2я j [Д (г2 -f- a2) Trt + а ДГгф] sin 0 d0. (215)
о
С другой стороны, легко проверить, используя выражения для базисных изотропных векторов 1 и п (уравнение (170) гл. 6), справедливость соотношения
Д (г2 + a2) Trt + а Д Trff = (Д2/4) TijIiIi - р47>У. (216)
Имеем поэтому
л
62 {~)г = 2л j (V4A2TijIiIi - P4TIjIitnl) sin 0dQ. (217)
о
Используя формулу для спинора энергии-импульса (210), находим с помощью уравнений (159), что по мере приближения к горизонту
TIjl1I1 =- о^oa овов Tаа'вв' =
= І0А0А 0Б0В [РдРA'\ BB' PА'РA; BB----------QaQa', BB' jT Qa'Qa\ BB'] =
= і [PoDP0' — PvDPq — QqDQq' 4- QoDQ0] ~
Z= і [P1DP1' - pi'DP1 - Q1DQ1' -ь QvDQ1] ->
- 2a (б2+/Д) \R+i,2I2 (5+,,2 I-SL172). (218;
274
Глава 10. Частицы спина I/2 в геометрии Керра
Подобным же образом получаем
TIjtl1 п1 = lAlA lBlB TAA'BB' -^1Acr (йЦ-/р4) I R—1/2 |2 (S+1/2 + SL1/2).
(219)
Подставляя выражения (218) и (219) в уравнение (217) и вспоминая, что угловые функции S+1/2 (0) и S-1/2 (0) нормированы на единицу, получаем следующую формулу:
(^)г+ =2жт[|Р+1/2|2-|Р_1/2|2]. (220)
Суммарный поток энергии через поверхность радиуса г в единицу времени и в единице телесного угла, следовательно, равен
(¦wkX = ¦/* [l*W - I Р-т N = TE- (тг)„ ¦ (221)
В силу уравнения (209) этот поток через горизонт событий всегда положителен.
в. Квантовая природа отсутствия суперрадицаии. Отсутствие суперрадиации для частиц спина 1/2, находящееся в явном противоречии с теоремой Хокинга о площади поверхности черной дыры, связано с тем, что тензор энергии-импульса, соответствующий спинору (210), нарушает слабое условие энергодоминантности:
