Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Фо = Ф2 = 0. (135)
Как уже объяснялось в п. 44, б гл. 5, этот выбор калибровки вполне допустим *. В такой калибровке уравнения Максвелла заменяются парой уравнений
(Д — Зу — у* — 2fx + |А*) х —
— (б* — За + р* — т* — 2я) а + 2Уг - 0, (136) (б + я* + 2т — а* + ЗР) К —
— (D + Зе + е* + 2р — р*) V + 24*3 = 0 (137)
для спиновых коэффициентов. (Заметим, что в выбранной калибровке нельзя предполагать равными нулю вейлевские скаляры 1Fi и Y3.)
Обратимся теперь к тождествам Бианки (уравнения (321а), (321 г), (321д) и (321з) гл. 1) и заменим выражения в правых частях первых двух уравнений из систем (3) и (4) гл. 9 на выражения (ср. с формулами (220) гл. 5)
+ «(3% _ 4Ф,Ф!) = - ф. [з (м - -Э-) + « -І1] ,
* Он несомненно является и наиболее простым: любой другой выбор приводит к более сложной системе уравнений, чем (139)—(142).
10 Чандрасекар С., т. 2
294
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
-I-а (ЗЪ + Wf) = - -JLr [З (/И - 4L) - Ql _|1] ,
(138)
- % (ЗУ2 + = + -Ar [з (м - -Si-) - Ql І1] ,
-v(3V2-Wr) = + 1^[3(Af--f-)+Q^]..
Таким образом, оставляя без изменений определения, данные в гл. 9 (соотношения (6)), мы должны теперь рассматривать вместо уравнений (7) — (9) гл. 9 четыре уравнения, последнее из которых суть преобразованное уравнение (136):
(#. - ф0 - (0о + -?-) O1 =
д (2>+--iL) ф„+ (<?+,
2k
3ia sin 0
3(M-4i-)-LQ2-|L], (139)
Ф, =
= +2s [3 (M--SL)-Q?-^-], (140)
+ yr)s~ + =-A_ ФІЯ (141)
A (#+ - -|_) k + (S2 - = 2рФ,/(р*;2. (142)
Уравнение (142) совпадает с уравнением (29) гл. 9, которое мы добавили там (ad hocl) для восстановления симметрии уравнений
(7) - (9).
Теперь мы можем проделать над уравнениями (138) — (142) те же операции, что привели в гл. 9 к уравнениям (17) и (31). Действительно, с помощью тождеств
A (S)1 -f З/p*) (Ф\ — З/p*) + (SpI1 + Sia sin 0/р*) (Sf2 — 3ia sin 0/р*) = = + ZtlS2 - бгсгр + (бр/р*г) (М - QHр), (143)
А (0+ - З/p*) (S)0 + 3/р*) + (S2 - 3ia sin 0/р*) (S_x + 3ia sin 0/р*) = = А+ SB,SI, - Qiop + (12р/р*г) (М - QHp) (144)
вместо расцепленных уравнений с разделенными переменными
(20), (21), (33) и (34) гл. 9 получаем пару связанных уравнений
+ - 6І0р) Ф0 = - 2Ql (SllItpyp2 + ЗД’/Р2), (145)
(А2%2>0 -I- S2St1 - 6top) Фх = + 2Ql (АФ\крЧр2 - S2SpVp2),
(146)
112. Решения для статических черных дыр
295
и все усилия расцепить их (или разделить переменные) не увенчались успехом. Все многочисленные манипуляции с системой уравнений (139) — (142), отличные от указанных выше преобразований, также оказались безуспешными.
Возникает вопрос, почему система уравнений (139) — (142) не поддается исследованию в противоположность аналогичным системам уравнений, с которыми мы сталкивались при исследовании возмущений пространственно-временных многообразий Рейсснера — Нордстрема и Керра. Опыт работы с уравнениями (222) — (225) гл. 5 при исследовании пространства-времени Рейсснера — Нордстрема, вероятно, поможет нам в этом отношении. Прежде всего угловые функции S + 1 И S-J-2 связаны между собой очень простыми соотношениями (уравнения (234) гл. 5), а собственные значения Xy соответствующие этим функциям, равны. Кроме того, сферическая симметрия фонового пространства гарантирует разделение переменных. Ho расцепление системы уравнений на пару уравнений второго порядка было неожиданностью: оно оказалось возможным только благодаря выбору весьма специальных комбинаций радиальных функций, описывающих вейлевские скаляры и спиновые коэффициенты (уравнения (239) гл. 5), комбинаций, в которые собственное значение X (общее для угловых функций S+i и S±2) входит существенно нелинейно. В общем аксиально-симметричном случае нет a priori никаких причин ожидать, что угловые функции для полей спинов 1 и 2 будут связаны простыми соотношениями: это не так даже для фоновой метрики Керра. Далее, сравнивая уравнения (139) и (140) с соответствующими уравнениями гл. 9 (уравнения (7) и (8)), мы видим, что в противоположность простым членам в правых частях уравнений гл. 9 теперь имеем комбинацию членов (M — Q*/p) и Qlр*/р2.
Это наводит на мысль, что если расцепление системы уравнений (139) — (142) и разделение переменных и будут возможны (если это вообще возможно), то только в уравнениях четвертого или более высокого порядков.
112. Решения, описывающие статические черные дыры
Мы видели в § 55 гл. 6, что решение Шварцшильда является единственным статическим решением уравнений Эйнштейна в пустоте, имеющим гладкий горизонт событий и совместимым с требованием асимптотически плоского характера метрики на бесконечности. Это требование эквивалентно тому, что мы ограничиваемся только черными дырами, которые изолированы в пространстве. Хотя естественно ограничиться на первых порах исследованием изолированных черных дыр, тем не менее представляет не-который~интерес вопрос, как эти черные дыры могут деформироваться под влиянием внешних распределений массы. До тех пор пока мы рассматриваем лишь окрестность таких деформированных
