Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 106. Изложение настоящего параграфа основано почти целиком на неопубликованной работе автора. Эквивалентные результаты были представлены в работе
15. Guven R. Phys. Rev. D16, 1706—1711, 1977.
Cm. также [12].
§ 107. Отсутствие суперрадиации при отражении дираковских волн керровской черной дырой было в явном виде продемонстрировано в [15] и рядом другим авторов вскоре после доказательства возможности разделения переменных в уравнении Дирака:
16. Martellini M., Treues A. Phys. Rev. D15, 3060—3064, 1977.
17. Lee С. Я. Phys. Lett., 68В, 152—156», 1977.
18. Iyer В. R., Kumar A. Phys. Rev., D18, 4799-4801, 1978.
О парадоксе Клейна, упомянутом в заключительном параграфе, см.
19. Klein О. Z. f. Physik, 53, 157—165, 1931.
20. Sauter F. Z. f. Physik, 69, 742—764, 1931.
Исследование других вопросов, касающихся уравнения Дирака в геометрии Керра и разделения переменных, не рассматривавшихся в данной книге, см. в работах
21. Carter В., McLenaghan R. G. Phys. Rev., D19, 1093—1097, 1979.
22. Iyer В. R., Kumar A. Pramana, 8, 500—511, 1977.
23. Iyer В. R., Kumar A. Pramana, 11, 171 —185, 1978.
24. Iyer В. R.y Kumar A. Pramana, 12, 103—120, 1979.
Глава 11
ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ, АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ
108. Введение
Исследованием частиц спина 1/2 в главе 10 завершилось изучение решений Шварцшильда и Керра. Гл. 5, в которой рассматривалось решение Рейсснера—Нордстрема, — это своего рода отступление, которое диктовалось в основном тем соображением, что оно способствует более глубокому пониманию решения Шварцшильда и служит мостом для перехода к изучению решения Керра. Это наводит на мысль, что исследование решения Керра—Ньюмена, которое находится в таком же отношении к решению Керра, как решение Рейсснера—Нордстрема к решению Шварцшильда, позволит лучше понять решение Керра. Хотя вывод метрики Керра — Ньюмена (§ 110), при котором мы будем следовать тем же путем, что при выводе метрики Керра (§ 54), приводит к некоторым полезным обобщениям основных понятий, оказывается, что методы, развитые в гл. 9 для исследования гравитационных возмущений керровской черной дыры, не удается естественным образом распространить и использовать при изучении возмущений взаимодействующих электромагнитных и гравитационных полей черной дыры Керра—Ньюмена. Причины этого, без сомнения, важного различия в структуре подвергшихся возмущениям многообразий Керра и Керра—Ньюмена, по-видимому, лежат глубоко и связаны с нерасцепляемостью взаимодействующих полей спина 1 и 2 в возмущенном пространстве-времени Керра— Ньюмена — связь, которую удалось расцепить только в силу специальных причин в возмущенном пространстве-времени Рейсснера—Нордстрема.
Помимо решения Керра—Ньюмена будут рассмотрены еще два класса решений: аксиально-симметричные решения для черных дыр, которые являются статическими, но не асимптотически плоскими, и решения, описывающие произвольное число изолированных черных дыр и представляющие релятивистский аналог статической равновесной конфигурации (возможной в ньютоновской теории) из произвольного числа заряженных точечных масс, для которых взаимное гравитационное притяжение в точности компенсируется кулоновским отталкиванием.
Эта глава и вся книга заканчивается длинным параграфом, посвященным все еще нерешенной проблеме устойчивости кер-
т
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
ровской черной дыры и предварительному рассмотрению альтернативного метода исследования возмущений пространственно-временных многообразий.
109. Уравнения Эйнштейна—Максвелла для стационарных аксиально-симметричных пространственно-временных многообразий
Как и в гл. 5, начнем с метрики стандартного вида
dS2 = e2v (dt)2 — е2^ (dq) — со d/)2 — с2^2 (dx2)2 — е2^3 (dx3)2, (1)
где V, со, [I2 и [I3 — функции только координат X1 и X3 и, кроме того, можно наложить одно координатное условие на функции и [i3.
Поскольку нас теперь интересуют уравнения Эйнштейна— Максвелла, рассмотрим сначала уравнения Максвелла в пространстве-времени с метрикой данного вида. Эти уравнения нетрудно сразу же выписать, поскольку они представляют собой специальный случай уравнений из § 15 гл. 2. Из уравнений (95а)—(95з) гл. 2 находим, что в стационарном аксиально-симметричном пространстве-времени
^7Ol ~ -^23 “ 0, (2)
а остальные уравнения имеют следующий вид:
(е'Н’^Ль), 3 - (^+^Лз), 2 = 0, (3)
(еФ+и^оз), 2 + (еФ+^оз), 3 = 0, (4)
(ev f^Fi2), 2 + (ev+^F13), 3 = e^^F02a, 2 + з, (5)
(ev+^F02)} з — (Cv^F03)i з = e^+^/^co, з — e*+»*F13<o, 2. (6)
Из уравнений (3) и (4) следует, что две пары компонент тензора Максвелла (F12f F13) и (F02i F03) могут быть записаны через
потенциалы AwB:
e^^F12 = Af2; є*+»* F13 = Ai3; e^+^Fw = — Bt 2; e^+^Foz = +Bt3.
Уравнения (5) и (6) теперь принимают следующий вид:
(e-iH-v-iiH-M.3^ 2)? 2 (e-^+v+ix2-ii3 Д' ^ з == CO, 2В, з — CO, 3В, 2; (8)
(?-Ф-И-м,2+ДзBi 2), 2 + (e-^+V+lX2-n3Bi 3)} 3 = CO, 3Л, 2 — CO, C2Ai 3. (9)
Поскольку тензор энергии-импульса максвелловского поля имеет вид
