Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
что определение матриц Паули (40) отличается от обычного определения множителем l/y^2.
В формализме Ньюмена—Пенроуза в искривленном пространстве-времени уравнения (97) и (98) останутся справедливыми, если обычные производные заменить ковариантными производными, а матрицы Паули заменить матрицами а, определенными формулами (67). Искомые уравнения, таким образом, имеют вид
QАВ'Р\ і &с'В' — 0, (99)
OAB'Qfi + Щ*РС &С'В' = 0, (100)
где
і I ^ ті
»' • (101)
Выпишем теперь в явной форме эти уравнения через введенные спиновые коэффициенты.
Рассмотрим уравнение (99) для Bf = 0. Имеем
ОІО’Р- і + olvP\ і - щДх’ = 0. (102)
В силу определений (68), (69), (91) и (101) получаем
(а00-Р° + T0600-P6) + (а10-р‘ + іЛ m-P6) - щЛх’ = о, (іоз)
или более подробно
(D -j- Г ioco' — Гоою') P0 + (6* + Г і too' — Гопо')^1 — W*Q[' = 0- (Ю4)
Заменим теперь различные спиновые коэффициенты в уравнении (104) специальными обозначениями, перечисленными в (92). Получаем
(D + є — р) P0 + (8* + я — a) P1 — — 0. (105)
Аналогично уравнение (99) для Bf = 1 дает
(Л + Ii - У) P1 + (б + P - т) P0 + M0' = 0. (106)
Из уравнения (100) получаются уравнения (105) и (106), но с пе-
реставленными PhQ. Удобно, однако, рассмотреть уравнение,
104. Уравнение Дирака в геометрии Керра
259
(108)
комплексно-сопряженное уравнению (100), и, кроме того, ввести обозначения
F1 = P0, F2 = PK G1 = Q1', G2 = -Q0'. (107)
Выпишем результирующие уравнения
(D + е — р) F1 + (б* + я — a) F2 = iuJJi,
(Л + И — y) F2 + (б + P — т) F1 = i]ifi2,
(D + е* — р*) G2 — (б + л* — а*) Gi =
(Д + Ц* — Y*) G1 — (6* + р* — т*) G2 = WiliF1.
Это и есть запись уравнения Дирака в формализме Ньюмена— Пенроуза.
104. Уравнение Дирака в геометрии Керра; разделение переменных
Предполагая, что четыре компоненты волновой функции — в наших обозначениях F1, F2i G1 и G2 — имеют обычную зависимость ехр Ii (at + тф)] от t и ср, и подставляя вместо спиновых коэффициентов и производных по направлению выражения, полученные в гл. 6 (уравнения (170)—(173) и (175)) и в гл. 8 (уравнения (2)—(5)), находим, что система (108) сводится к следующей:
(^5O +-J*-) fl + р* ^il2p2 =
A р 1 / о?+ , !а sin
1 / г»+ і ia sin 0 \ г, .
rr(^I/2 + ~~w~)Fl =
2р2 I/2 2 у2 р г .
у р (109)
(^0 + 4-) G2 - ^r72G1 = +ifi.Fi,
Форма уравнений (109) подсказывает, что вместо функций F1 и G2 удобно ввести функции
Z1 = р*Ft = (г — ia cos 0) F1 ( = р*Р°),
g2 = pG2 = (г + ia cos 0) G2 (= —pQ° )•
Если теперь вместо F2 (= P1) и G1 (= Q1') писать /2 и g2 (чтобы результирующие уравнения имели симметричную форму), то уравнения (109) примут вид
0O/l + 2-1/2^!/^ = + (l>»r -f cos0)gb A^/2/2 — 2+17?,/, = —2 (ІЦ.Г -f ац, cos 0) g2,
^og2 — 2 = + (i>»r — ajx, cos0)/2,
b@>\/2gi + 2+ll29?i/3g2 = —2 (t>,r — a\it cos 8)/1.
(HO)
260
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керра
Теперь очевидно, что переменные могут быть разделены следующими подстановками:
/i (г, 0) = #_i/2(r) S—1/2(0), f2{r, 0) = R+\/2(r) S+i/2(0),
gl(/Y_9) = #+1/2(^)5-1/2(0), g2 (г, 0) = —1/2 (/") «S-J-1/2 (0),
где R± 1/2 (г) и S±i/2 (0) — функции соответственно только г и 0. В результате уравнения (111). принимают следующий вид:
(®oR-\/2 — 1Ц-*Г#+1/2) S-I/2 +
_|_ [2-1/2^ 1/2S+1/2 — (ofA* cos 0) S—j/2)] #+1/2 = О, (Лі?5і/2і?+і/2 -f- 2t|i.,r #—1/2) S+1/2 —
- [2+1/2^r/2S_,/2 - 2 («и. cos 0) S+i/2] R-U2 = 0, (113) (3)0R-U2 — Ф.^Я+і/г) S-j-1/2 —
— [2 1/23?t/2S—i/2 — (a\it cos 0) S+1/2] R+1/2 = 0, (AiZ)[/2^+1/2 + 2tu,rR_ 1/2) S -1/2 +
+ [2+1/2^1/2S -bi/2 — 2 (ац,* cos0) S-1/2] R-1/2 = 0. Из этих уравнений следует, что
&oR-1/2 — tyjR+\/2 = #+1/2,
2 1Z2eS71/2S+1/2 — cos 0) S_i/2 = —XiS_i/2,
A^l/2^+1/2 + 2i(X*r/?_i/2 = ^2/?-I/2,
2+1/M/2S —1/2 — 2 (afx* cos 0) S+1/2 = +X2S4-1/2, (114)
?DqR—\/2 — i\ijRj[.\j2 = ^3-^+1/2*
2 l^23?T/2S—\/2 — (ящ COS 0) S_j_i/2 = + X3S4.1/2,
^\J2R+M2 jT^rR-M2 = ^aR—1 /2»
2+1/2^1/2^1/2 — 2 (#[X* COS 0) S—1/2 = —^4«S—1/2»
где X1, ..., X4— постоянные разделения. Ясно, однако, что для совместности вышеприведенных уравнений требуется
= X3 = V2X2 - V2X4 - X. (115)
Мы получили, таким образом, две пары уравнений 2DqR—\12 = (X -j- ?[i*r) /?+і/2»
А^і/гі?+1/2 = 2 (X — Щ*г) R-1/2Ї i?i/2«S+i/2 = —21/2 (X — cos 0) S—1/2, j?!/2S_i/2 = + 21^2 (X -)- a\i^ cos0) S+i/2-Здесь удобно сделать изменения в обозначениях
21/2Х -* X, 21/? -* те, 2l/2R-\/2 -* Л-1/2. (118)
(116)
(117)
105. Нейтринные волны в геометрии Керра
261
Тогда уравнения (116) и (117) принимают следующий вид:
А1/2іад_1/2 = (X + imer) A1I2RjrIl2, (119)
Д1/2^5о/?+і/2 = (X — imer) R-If2t (120)
2? 1/2^4-1/2 = —(X — Ctme cos 0) S—\j2l (121)
S\/2S—\j2 = 4" (X -j- CLtne cos 0) S_[_i/2, (122)
где me — масса частицы, записанная через обратную комптонов-скую длину волны (т. е. вместо medfL написано те).
Из уравнений (119) и (120) можно исключить функцию All2R+i/2 И получить уравнение ДЛЯ функции R-\/2
[А2>Ьі?о - -т^щг - W + тУ)] M-U2 = 0. (123)