Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Функция A{l2R+i/2 удовлетворяет комплексно-сопряженному уравнению.
Исключив функцию S+i/2 из уравнений (121) и (122), получим уравнение для функции S_i/2
+ X-TX1Cosa - ^We)] S-,,, = о.
(124)
Функция S—1/2 удовлетворяет «присоединенному» уравнению (получаемому заменой 0 на я — 0). Величина X теперь выступает в качестве собственного значения, определяемого из граничных условий, которые требуют, чтобы функция S_i/2 (а следовательно, и функция S-fi/2) была регулярной в точках 0 = 0 и 0 = я.
Мы вернемся к этим уравнениям с разделенными переменными в § 106, после того как рассмотрим более простой случай безмас-совых двухкомпонентных нейтрино в § 105.
105. Нейтринные волны в геометрии Керра
Уравнения для двухкомпонентных нейтрино (для которых в пространстве Минковского справедливы уравнения Вейля) можно получить, положив ше = Ob уравнениях (119)—(124). Полагая также (ср. с уравнением (65) гл. 8 и уравнением (72) гл. 9)
A1/2i?4_l/2 = Afl/?, R-1/2 = Р—1/2, (125)
имеем две пары уравнений
Д 1/20?Я+1/2 = %Р-мъ Д1/20оР-1/2 = XP4t172; (126)
^1/25+1/2 = ^^5-1/2, .2^1/25-1/2 = +^5+1/2- (127)
262
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керра
Им соответствуют следующие расцепленные уравнения второго порядка:
(A- К2) Р+т = 0, (Д0|/20о - Я2) Р_,/2 = 0; (128)
ЗЄ\ігЗ?\ії§+\і2 = —k2S+U2, ^1/2^1/95-1/2 = —X2S-1/2- (129)
Итак, уравнения (128) действительно принадлежат к специальному классу, рассмотренному в гл. 8 (уравнения (96) и (97) гл. 8), если в последних положить I s I = 1/2. Общая теория преобразований, развитая в § 72 и 73, применима и здесь и позволяет преобразовать уравнения (128) к одномерным волновым уравнениям. Однако в данном случае проще исходить прямо из уравнений (128) и кратко повторить теорию преобразований.
Как было показано в § 72, введение функции г# в качестве независимой переменной (уравнения (100) и (101) гл. 8) придает операторам SD0 и простой вид
+ <130>
где
ё2 = г2 + а2 = г2 + а2 + ат/а. (131)
Вместо уравнений (126) теперь получаем
P+\/2 = P~\ц, (132)
(?+*>)'’-«- <|33>
Полагая
Zi = Afi/2 ± P—1/2» (134)
получаем вместо уравнений (132) и (133) следующую систему:
+ = (135)
ДІ/2
Ar * о)2
'j Z_ = iaZ+. (136)
Эти уравнения сразу же дают пару одномерных волновых уравнений
("3JT" "Ь °а) Z± = V±Z±, (137)
где
а. Задача об отражении и прохождении в случае а > > сгв (= —ат/2Мг+). Ясно, что при а > Os существует однознач-
idS. Нейтринные волны в геометрии Керра 263
---------------------------------------------------------------
ное соответствие между решениями одномерного волнового уравнения (137) с любым из двух потенциалов (138) и решениями исходных уравнений, поскольку в этом случае зависимость г# от г однозначна, а сами потенциалы являются ограниченными и короткодействующими. Кроме того, поскольку потенциалы V±, определяемые уравнениями (138), принадлежат к общему классу потенциалов
V± = ±Р^- + Р2/2 + х/, (139)
рассмотренных в § 26 гл. 4, с параметрами
Р/ = ЯД1/2/©2, х = 0, (140)
уравнения для Z+ и Z_ дадут одинаковые коэффициенты отраже-
ния и прохождения. Равенство коэффициентов отражения и коэффициентов прохождения прямо следует из уравнений (135) и (136), согласно которым
7 • 1 (г* ->±00). (141)
і о dr*
Будем искать, как обычно, решение волнового уравнения (137), скажем с потенциалом 1/+, имеющее следующие асимптотики:
I ехр [+ІОГ*] +Л (о) ехр [—iff/-*] (г,-*. +00),
+ Ч В (а) ехр [ + Iors,) (г*->-00). {Ш)
С помощью уравнения (135) мы можем получить из этих решений для Z+ решения волнового уравнения с потенциалом 1/. — решения Z_, которые (в силу уравнения (141)) имеют следующие асимптотики:
jexp [+iar,] - Л(а)ехр[—tar J (г,-*»+ оо),
В (а) ехр [+iar*] (г*-*—оо). ’
Следовательно, потенциалы V± приводят к одинаковым коэффициентам отражения и прохождения, которые определяются равенствами
R = I А (а) I2, T = I B(G) I2 (144)
и удовлетворяют условию
R + T=I. (145)
Ниже в § 106 и 107 мы проверим в более общем случае уравнения Дирака, что определенные таким образом через решения волновых уравнений Z± коэффициенты отражения и прохождения согласуются с физическим определением потока нейтрино через горизонт событий.
На рис. 46 показано семейство потенциалов V± в интервале
частот Gs < а < Gc (= —т/а). В этом ш.терЕале а2 < 0, но
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керрй
O < І а І < г+ и І а І -> r+ + O при а -> Gs + 0. Вследствие последнего факта потенциальный барьер для падающих нейтрино неограниченно возрастает при а —> Gs + 0. Однако сингулярность потенциала на горизонте в этом пределе слабее, чем соответствующая сингулярность для фотонов и гравитонов. Действительно, рассмотрим интеграл от I/, который является мерой величины
Рис. 46. Потенциальные барьеры К(+) (сплошные кривые) и 1/(_) (штриховые кривые) вокруг черной дыры Керра (а = 0,95) для падающих нейтринных волн с I = 2,5, т = —2,5 и частот в интервале Gc ^ о < Gs. У кривых указаны соответствующие значения частоты а.
