Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
2л Л
-^T=-J j^(/=i)d0d9,
о о
где
а величина
У —g = P2 Sin 0 = (г2 + Cl2 COS2 0) Sin 0,
(1//2) Jr = O1ab- (PaPb' + QaQb')
(162)
(163)
(164)
есть радиальная компонента дираковского тока Ji.
Для выбранных базисных изотропных векторов 1, п, ш и m имеем
1
К2
GAB'
Ir тг _ _L 1 0
тг пг ~ V2 0 —А 2р2
(165)
Вычисляя Jr с помощью соотношений (156), (164) и (165), находим
Jr = (1 /2р2) (|Я_,/2|2-Л| /?+ ,/212) (59-,/2 + S2+1/2). (166)
Предполагая, что угловые функции S+1/2 (0) нормированы на единицу, получаем из уравнений (162), (163) и (166), что
dN
-Tjj- = 2л (| PjrUi I2 — I P-1/212) = const.
(167)
а. Приведение уравнений Дирака к одномерным волновым уравнениям. Если, как обычно, ввести в качестве неазависимой пере-
268
Глава 10. Частицы спина ІІ2 в геометрии Kepph
менной функцию г*, то уравнения (119) и (120) примут следующий вид (ср. с уравнениями (132) и (133)):
/ d \ Д1/2
- io) P+1/2 = (А. — imer) Р_ 1/2, (168)
ю
("dTT + ia) Р-'/2 = ^ + im^ P+I/2' (169>
Пусть
¦О = arctg (тег!%). (170)
Тогда
cos G = А/(А2 + тУУ\ sin д = тегЦ%2 + m2r)1/2, (171)
А. і іґПеґ = ехр [ + ?0] (A, -j~ ^ (172)
и можно переписать уравнения (168) и (169) в альтернативной форме
- iff) P+1/2 = 4/- (я2 4- тУ)1/2 P-1/2 ехр [— і arctg тег/К),
(173)
(+ iff) P-1/2 = 4^- (я2 + тУ)1/2Р+1/2 ехр [-f і arctg тег/Я,]! ,
(174)
Можно исключить экспоненциальные множители в правых частях уравнений (173) и (174), сделав подстановки
P+1/2 = 1/2 ехр [-1I2I arctg тег/Х],
P-1/2 = -ф—1/2 ехр [+1I2I arctg тег/Х).
В результате получаем
dt^j-1/2 ;„(\ I д Ime 1 \ . _ Д1/2 /.2 , 2^41/2 I
—torf 1 _j^+I/2__(A, JrmeT) г|)-,/2,
(176)!
^-1/2 I ,-„Л , Д ^md 1 \ , _ ДІ/2 Л2 , 2 2\1/2 .
+ Iff И + -~Г “КГ- Го-; Г2 T-1/2 — ~~Г ^ I ) Т+1.'2“
.// - ' CO»
^r* со2 2а X2 + т2г2
(177>
Можно привести эти уравнения к более простому виду, сделав* замену независимой переменной:
г* = г* + (V2CF) arctg /HeTAf (178>
106. Сохраняющийся ток
269
В результате двух замен (175) и (178) получаем следующие уравнения:
ш)г|>+1/2 = W4_I/2f (180)
(т?7 + io) ^~1/2 = г^+>/2. (181)
где
Полагая теперь
ДІ/2 А2 + /?2 2чЗ/2
Ц7 = - A T * >------------------ . (182)
со2 (A,2 + mer2) + Xme А/2 а
Z+ = гр_|_1/2 ± "?-1/2, (183)
получаем следующую систему уравнений:
(dt-r)^ = iaZ~' (dT: + "7)2- = '^ <184>
Эти последние уравнения сразу же дают пару одномерных волно-
вых уравнений
(^- + с2) Z± = V±Z±, (185)
где
V± = W2 ± dWIdiij, =
- А'12 (^ + тУ)3/2 г 1/2 /^1/2 , 2 2x3/2
[ы2(Х2 + тУ) + ЫеА/2а]^ ( +теГ)
=J= Kr — М) (я2 -+ т2ег2) 4- Зт^гД)] =F
Д3/2Л2 + т2 2ч5/2
' ^ е > [2г(Х2 + т2г2) +
[S2 -f m2r2) + lKmeА/2а]3
+ 2т2е(Ь2г + Xme (г — М)/а]. (186)
Уравнения (184) и (185) имеют в точности такой же вид, как и
уравнения (137) и (138) для безмассовых нейтрино.
б. Разделение переменных в уравнениях Дирака в сплюснутых сфероидальных координатах в плоском пространстве. Ясно, что, полагая
M = 0, Д = г2 + а2 (187)
в уравнениях (157) и (158) и в последующих вариантах этих уравнений, мы получим уравнения Дирака с разделенными переменными в сплюснутых сфероидальных координатах в плоском пространстве, потому что при M = O метрика Керра принимает вид
ds2 = At2 -
r' + aW9 + (r2 + а2 со§2 0) d02
1 +1
+ (г2 + a2) sin2 0 dtp2], (188)
270
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Keppa
и если вдобавок положить
г = a sh т), (189)
то метрика принимает стандартный вид плоской метрики в сплюснутых сфероидальных координатах
dS2 = dt2 — а2 [(ch2 ц — sin2 0) (dr]2 + d02) +
+ ch2 ті sin2 0 d(p2]. (190)
Поскольку возможность разделения переменных в уравнении Дирака в сплюснутых сфероидальных координатах, вероятно, не является широко известным фактом, выпишем явный вид уравнений для этого случая.
В результате подстановок (156) радиальные уравнения принимают вид
-ir+ ‘{° + T-T?)] = Х'а’к Р+'к- (192)
где
P + 1/2 = (^2 + G2) R+ 1/2, P- 1/2 = #-1/2* (193)
Если сделать дальнейшие замены зависимой и независимой переменных
Z± = P-j-1/2 ехр [i^i/2] ± P—j/2 ехр [—tOi/2], (194)
К = Г -f (1/а) (*i/2 + mfl2), (195)
где
O1 = arctg (mer/X), ^2 = arctg (л/а). (196)
то уравнения примут простой вид
(-?- + a*) Z± = V±Z±, (197)
где
V± = W2 ± dW/dr^ (198)
(г2 + а2}1/2А2+ 2 243/2
w =_____________________У. 7 ___________________П99Ї
(г2 + a2) (^2 + m2r2) +- [am (l2 +- m2r2) + V2Xmf (г2 + а2)] а-1
И наконец, заметим, что уравнения (121), (122) и (124) для угловых функций Sj11/2 остаются неизменными при переходе к плоскому пространству.
107. Задача об отражении и прохождении волн
Наиболее важным различием взаимодействия массивных частиц с черными дырами от взаимодействия безмассовых частиц является поведение потенциалов V± при г-> оо. В отличие от
107. Задача об отражении и прохождении волн
271
потенциалов, с которыми мы сталкивались до сих пор, изучая безмассовые частицы, потенциалы V±, задаваемые уравнением (186), не убывают пропорционально г~2 приг->оо:
