Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(А/Х2) Xi2Y,2 = (r- MfIА - 4Мг/р2 + Ы\РгМ№ + 4Q2r2/p4, (123) (А/х2) X,2У,2 - (6/х2) Х,3У,з = (г - М)2/Л. - 4Мг/р2 +
+ 8а2\л2гМ!р4 + 4Q2r2/p4 - (ц2/р46) {{г2 + а2 + а28)2 - 4а2AS] =
= (г — Л1)2/А — 4Mr/p2 — Ix2ZS + 4Q2/p2. (124)
Объединяя уравнения (121) и (124), снова приходим к такому же уравнению, что и в гл. 6 (уравнение (130)). Следовательно, решение для функции (fx2 + (?) имеет тот же вид, что и в случае метрики Керра (ср. с уравнением (131) гл. 6):
е^ш = р2/Д1/2. (125)
Решение полной системы уравнений закончено: оказывается, метрика Керра—Ньюмена отличается от метрики Керра только видом функции А. Отсюда следует, что постоянная M действительно обозначает инертную массу черной дыры, а параметр а снова интерпретируется как момент количества движения на единицу массы черной дыры.
а. Описание пространства-времени Керра—Ньюмена в формализме Ньюмена—Пенроуза. Из формальной идентичности метрик Керра и Керра — Ньюмена с точностью до определения функции А следует, что для описания метрики Керра — Ньюмена в формализме Ньюмена — Пенроуза мы можем определить изотропный тетрадный базис, как в § 56 гл. 6 для пространства-времени Керра. В частности, требуемый базис по-прежнему задается соотношениями (170) и (173) гл. 6, а спиновые коэффициенты относительно выбранного базиса по-прежнему определяются соотношениями (175) гл. 6. И теперь из равенства нулю спиновых коэффициентов х, а, А, и V можно заключить, что пространство-время Керра-Ньюмена, подобно пространству-времени Керра, является пространством типа D по классификации Петрова и, кроме того, в выбранном нами базисе
Y0 - V1 = Y3 = Y4 = 0. (126)
Следовательно, чтобы закончить описание, остается определить вейлевский скаляр Y2 и максвелловские скаляры ф09 и ф2.
V2 Ю*
292
Глава 11. Другие решения, альтернативные методы
Максвелловские скаляры можно определить, свертывая тензор Fij с базисными векторами, заданными соотношением (177) гл. 6. Вспоминая, что F01 и F23^paBHbi нулю, получаем
2ф1 = Fi} (Iіп{ 4- тЧпі) = = F02 (Pnt - 14°) + Fn (№ - Pn1) + F03 (т°т3 - m3/n°) +
+F13 (m'm3 — т?т1) = — (1/p2) (r2 + a2) ev+tt2F0a — (аД/22) et+**»F12 —
- (i/p2) (a sin 9) F03 - (?722 sin 9) (/.2 + fl3. (127)
Воспользовавшись далее соотношениями (7) и (116), находим после некоторых преобразований, что
Фі = -iQ*/2 (р*)2. (128)
Действуя аналогичным образом, находим также
& = фг = 0, (129)
так что единственным не равным нулю максвелловским скаляром является скаляр фх. < 1
Для определения вейлевского скаляра Y2 поступим несколько иначе и рассмотрим тождества Бианки (уравнения (3216) и (321в) гд. 1, в которых члены Риччи заданы формулами (3396) и (339в) гл. 1). Вспоминая,что в нашем случае единственным не равным нулю вейлевским скаляром является Y2, а единственным не равным нулю максвелловским скаляром — Cp1 и что спиновые коэффициенты к, а, К и V равны нулю, получаем из тождеств Бианки
-DYS + 3pY2 + ірфіф* = О,
—6*Y2 — 3nY2 + 4я фхфї'= 0. (130)
Воспользовавшись теперь списком спиновых коэффициентов из гл, 6,(формула (175)) и определениями операторов D и б* в гл, 8 (соотношения (3) — (5)), получаем следующие уравнения:
дЧ2/дг =- (З/p*) Y2 - Q2Ao4P*,
dY2/d0 = — (3ia sin 9/p*)Y2 + Q2Ja sin 0/р4р*, (131)
в которые подставлено решение (128) для скаляра фи
Легко убедиться, что частное решение уравнений (131) равно
Y2 = Q2Jp (р*)3, (132)
тогда как общее решение однородных уравнений имеет вид
Y2 = const/(р*)3. (133)
Из сравнения с формулой (180) гл. 6 заключаем, что постоянная в решении. (133) равна —М, поскольку она должна быть такой же, как для решения Керра (в пределе Q* = 0). Таким образом, искомое решение для Y2 имеет вид
Y2 = — М/(р*)3 + Q2Jp (р*)3. (134)
111. Возмущения tipocmpaHcmea-epeMehU Керра — Ньюмена
293
111. Уравнения для взаимодействующих электромагнитно-гравитационных возмущений пространства-времени Керра—Ньюмена
Как уже говорилось во введении (§ 108), методы, которые оказались столь успешными для исследования гравитационных возмущений пространства-времени Керра, неприменимы (и не допускают простых обобщений) при исследовании взаимодействующих электромагнитно-гравитационных возмущений пространства-времени Керра — Ньюмена. Основным препятствием являются затруднения при расцеплении уравнений. В этом параграфе мы кратко рассмотрим причину нерасцепляемости уравнений для взаимодействующих полей спинов 1 и 2, описывающих возмущения пространства-времени.
Основными уравнениями, описывающими возмущения пространства-времени Керра — Ньюмена, как и прежде, являются: четыре «уже линеаризованных» тождества Бианки (уравнения (321а), (321 г), (321д) и (32Із) гл. 1), два тождества Риччи (уравнения (3106) и (ЗЮк) гл. 1) и уравнения Максвелла в приведенном виде (уравнения (207) и (208) гл. 5). Эти последние уравнения подсказывают, что, как и при исследовании возмущений пространства-времени Рейсснера — Нордстрема, удобно выбрать калибровку, в которой максвелловские скаляры ф0 и ф2 остаются равными нулю:
