Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
TИк1 U > 0, (222)
где к — произвольный времениподобный вектор, при о < Gs. Действительно, выбирая
= (l/r) (Д/72 + pV) при klkt = Др2/г1 > 0, г >>г+, (223)
получаем
TijUki = (I//4) [(Д2/4) TijIiIi + P4TVV + P2 ATtJni). (224)
Комбинации TijI1I1 и Tijn1Hj мы нашли выше — уравнения (218) и (219). Подобным же образом находим, что
TlJn1 = о V'i bIbTaa-BB-
+ а (б2+/р2Л) (IP+1/212 + I P-М212) (Si,/2 + Si172). (225)
Объединяя теперь результаты (218), (219), (224) и (225), имеем
TIjttki ^ 2 (a<b2+/r%) (I Р+1/212 + I Р_т12) (5+1/2 4- SLi72), (226)
а эта величина отрицательна, когда а < crs, и условие энергодоминантности нарушается.
Хотя проведенное обсуждение и проясняет многие аспекты процессов отражения и прохождения дираковских волн в гравитационном поле керровской черной дыры, остается еще ряд нерешенных вопросов, имеющих самостоятельное значение. Так, правомерен вопрос: действительно ли потенциалы V± имеют сингуляр-
Библиографические замечания
Ж
ности вне горизонта событий для значений частот сг > гае, возникающие из-за присутствия члена ктеА/2а в знаменателе W, когда % отрицательно? Это невозможно в геометрии Шварцшильда. Если бы это имело место в геометрии Керра (скажем, при некоторых значениях о > as), то можно было бы ожидать, что коэффициент отражения достигает на этой частоте максимального значения, равного единице, а затем убывает. В таком случае мы бы заключили, что в явлении отражения частиц спина 1/2 керровской черной дырой проявляется парадокс Клейна. Это привело бы к интересным физическим следствиям, однако этот вопрос нельзя решить, если не известна зависимость собственных значений К от параметров те, т и а. (Впоследствии было показано, что парадокс Клейна не возникает.) /
Библиографические замечания
Разделение переменных для уравнения Дирака в геометрии Керра было выполнено в работе
1. Chandrasekhar S. Proc. Roy. Soc. (London), А349, 571—575, 1976.
Как указано в этой статье, положив в полученных уравнениях Al = 0, мы приходим к уравнению Дирака с разделенными переменными в сплюснутых сфероидальных координатах в плоском пространстве (см. § 106, б).
Метод, примененный в работе [1 ], просто и естественно обобщается на произвольное пространство-время типа D по классификации Петрова:
2. Gavert R. Proc. Roy. Soc. (London), А356, 465—470, 1977.
Разделение переменных в уравнении Вейля, описывающем безмассовые двухкомпонентные нейтрино, было проведено ранее в работах
3. Unruh W. G. Phys. Rev. Lett., 31, 1265—1267, 1973.
4. Teukolsky S. Astrophys. J., 185, 635—647, 1973 (Appendix В, р. 646).
§ 102. Спинорный формализм для исследования структуры пространства-времени был предложен и развит Пенроузом:
5. Penrose R. Ann. Phys., 10, 171—201, 1960.
6. Penrose R. An Analysis of the Structure of Space-Time, Cambridge University Adams Prize Essay, Cambridge, England, 1966.
7. Penrose R. In: Batelle Recontres (1967 Lectures in Mathematical Physics), eds. C. M. DeWitt, J. A. Wheeler, W. A. Benjamin Inc., New York, 1968, pp. 121 — 135.
Основной работой о спинорном базисе для формализма Ньюмена—Пенроуза, разумеется, является работа
8. Newman Е. 7\, Penrose R. J. Math. Phys., З, 566—579, 1962.
п. 102, а и б. Изложение спинорного анализа в настоящей главе основывается почти целиком на моих конспектах лекций Дирака, прочитанных им весной 1932 г., в которых развивался спинорный анализ и релятивистская теория электрона. Стиль и содержание лекций совсем не устарели, несмотря на то что с тех пор прошло пятьдесят лет.
п. 102, виг. Изложение этих разделов было отработано в дискуссиях автора с Дж. Фридманом. В частности, автор следовал фридмановскому представлению ковариантного дифференцирования (раздел 102, г).
§ 103. Очевидно, нет необходимости давать ссылки на литературу, содержащую уравнение Дирака в плоском пространстве. Автор считает, однако, 'что изложение в курсе Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица лучше всего подходит для перевода на язык формализма Ньюмена—Пенроуза:
9. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория.—М.: «Наука», 1968, §20, с. 91.
276
Глава 10. Частицы спина 1/2 в геометрии Керра
§ 104. В этом параграфе в основном излагается работа [1]. Альтернативный вывод тех же уравнений см. в работе
10. Carter B.t McLenaghan R. G. In: Proc. 2d Marcel Grossman Meeting on General Relativity, ed. R. Ruffini, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1980. § 105. Анализ, проведенный в этом параграфе, является упрощенным вариантом исследования, изложенного в работе
11. Chandrasekhar S., Detweiler S. Proc. Roy. Soc. (London), А352, 325—328,
1977.
Cm. также
12. Unruh W. G. Phys. Rev. DIO, 3194—3205, 1974.
Подобная же задача для геометрии Шварцшильда рассматривалась в работах
13. BrittD. /?., Wheeler J. A. Rev. Mod. Phys., 465—479, 1957.
14. Hartle J. В. In: Magic without Magic: John Archibald Wheeler, ed. J. R. Klau-der, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1972, pp. 259—275.
